czworościan, punkt wspólny płaszczyzn

[wielkireturner]

Przez środek każdej krawędzi czworościanu prowadzimy płaszczyznę prostopadłą do przeciwległej krawędzi. Wykazać, że istnieje punkt wspólny otrzymanych sześciu płaszczyzn.
Co oznacza płaszczyzna prostopadła? xD

[kropka+]

https://www.matematyka.pl/78537.htm

[Medea 2]

Płaszczyzna prostopadła do krawędzi i przechodząca przez jej środek to zbiór punktów równoodległych od końców krawędzi.

[wielkireturner]

Płaszczyzna prostopadła do krawędzi i przechodząca przez jej środek to zbiór punktów równoodległych od końców krawędzi.

Ach, to cudownie. A jak rozwiązać zadanie?

[Medea 2]

Oznacza to mniej więcej tyle, że gdyby te wszystkie sześć płaszczyzn miało niepusty przekrój, to istniałby punkt równoodległy od wszystkich wierzchołków czworościanu. Czy taki punkt istnieje?

[marcin7Cd]

Mam nadzieje, że nadal chcesz rozwiązanie.

Ukryta treść:    

To zadanie można zrobić ładnie z jednokładności. Środek ciężkości \(\displaystyle{ G}\) czworościanu połowi odcinek łączący środki przeciwległych krawędzi(można to łatwo sprawdzić), więc jednokładność o skali \(\displaystyle{ -1}\) (symetria środkowa) o ośrodku w punkcie \(\displaystyle{ G}\) przekształca środek krawędzi na środek przeciwległej krawędzi. Oznacza to, że płaszczyzna połowiąca krawędź czworościanu i prostopadła do niej przechodzi na płaszczyznę z zadania(jednokładność zachowuje równoległość i prostopadłość). Wszystkie takie płaszczyzny przecinaj się w jednym punkcie(środek sfery opisanej), więc ich obrazy w jednokładności również. Co kończy dowód.