Spodek wysokości

[LipaMat]

Od czego zależy to, czy spodek wysokości jest w środku okręgu opisanego na trójkącie, bądź wpisanego w trójkąt. Co determinuje który wariant?

[Michalinho]

Spodek wysokości jest w środku okręgu opisanego tylko gdy trójkąt ma kąty \(\displaystyle{ 45^\circ, 45^\circ, 90^\circ}\), a w środku okręgu wpisanego nigdy nie będzie.

[szachimat]

LipaMat, a może masz ochotę poczytać o spodku wysokości ostrosłupa mającego w podstawie trójkąt. Jeżeli tak to masz informację tutaj: 386338.htm

[SlotaWoj]

Aby środek okręgu opisanego na trójkącie leżał na wysokości trójkąta, wysokość ta musi być jednocześnie symetralną boku, do którego jest poprowadzona.
Aby środek okręgu wpisanego w trójkąt leżał na wysokości trójkąta, wysokość ta musi być jednocześnie dwusieczną kąta przy wierzchołku, z którego jest poprowadzona.
Obie ww. sytuacje wymagają, aby trójkąt był równoramienny.
Aby środek okręgu opisanego na trójkącie był „spodkiem wysokości” (ja preferuję termin: rzut prostokątny wierzchołka na przeciwległy bok, lub koniec wysokości na podstawie), trójkąt musi być dodatkowo prostokątny (wysokość jest poprowadzona z kąta prostego).
Aby środek okręgu wpisanego w trójkąt był „spodkiem wysokości”, okrąg ten musiałby mieć zerowy promień, a tym samym trójkąt mieć zerową długość podstawy. Innymi słowy, nigdy taki przypadek nie zachodzi – środek okręgu wpisanego w trójkąt nie może być „spodkiem wysokości”