Kąt pomiędzy czymś a czymś - jak to interpretować?

[Grzyboo]

Rozszerzona matura z matematyki już jutro, a ja mam spore problemy z tego typu zadaniami:

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa \(\displaystyle{ 12\sqrt{3}}\) , a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe \(\displaystyle{ 36}\). Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną.

Znalazłem rozwiązanie z rysunkiem pomocniczym:

AU

HzadR0x.gif (3.89 KiB) Przejrzano 94 razy

I tutaj jest pytanie. Jak do tego dojść? Jak zinterpretować to, że przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną tworzą kąt? Dlaczego punkt P jest akurat w tym miejscu?

[kropka+]

To jest kąt pomiędzy prostą (zawierającą przekątną ściany bocznej) a płaszczyzną (zawierającą ścianę boczną). Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest więc rzutem prostokątnym wierzchołka \(\displaystyle{ F}\) na płaszczyznę ściany bocznej. Ponieważ podstawa górna \(\displaystyle{ D E F}\) jest prostopadła do ściany \(\displaystyle{ ABDE}\) to \(\displaystyle{ P}\) jest spodkiem wysokości trójkąta \(\displaystyle{ D E F}\), czyli jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ DE}\)

[Grzyboo]

Ok, trochę mi to rozjaśniło. Czyli generalnie mamy rzutować odpowiednie punkty prostopadle na daną płaszczyznę, tak?

[kruszewski]

Generalnie, to płaszczyzna do której przynależy poszukiwany kąt jest prostopadła do płaszczyzny ściany.

[szachimat]

O podobnym problemie pisałem obrazowo na stronie: 382608.htm
Przeanalizuj cztery ostatnie posty - może coś z nich się przyda.

[Grzyboo]

Ok, dziękuję bardzo za odpowiedzi, powinienem już sobie poradzić z tego typu zadaniami.

[Marxin]

Ten sam problem miałem z 3 miesiące temu, identyczne zadanie pewnie. Jutro rozszerzona, a ja się martwię najbardziej o zadania za 1-2 ptk...

[kruszewski]

Proponuję takie doświadczenie:
Proszę wziąć trójkąt kreślarski o kątach \(\displaystyle{ 30^o \ i \ 60^0}\), czyli ekierkę, i postawić go na blacie stołu zastępującym geometryczną płaszczyznę tak, że dłuższa przyprostokątna tego trójkąta "leży" na stole a druga, krótsza, jest do niego prostopadła. Zauważymy, że kąt jaki tworzy przeciwprostokątna z blatem stołu (z płaszczyzną do której on przynależy) ma miarę równą mierze kąta między przeciw a przyprostokątną, równą owe \(\displaystyle{ 30^o}\).
Następnie obracając trójkąt wokół leżącej na blacie stołu przyprostokątnej zauważamy, że kąt jaki tworzy przeciwprostokątna z blatem stołu maleje by po położeniu trójkąta na blacie mieć miarę \(\displaystyle{ 0^o}\) . Tu zauważmy, że miarą kąta między przeciwprostokątną a blatem jest miara tego kąta ostrego w wierzchołku trójkąta prostokątnego który tworzy przeciwprostokątna z przyprostokątna leżącą na blacie a jego wierzchołkiem jest punkt przebicia płaszczyzny (blatu) prostą w której leży przeciwprostokątna.
Celowo nie przytaczam rysunku by spowodować przeprowadzenie doświadczenia.
W.Kr.