Obrót trójkąta

[cz0rnyfj]

W trójkącie ABC dane są: \(\displaystyle{ |AB| = 7}\), \(\displaystyle{ |BC| = 3}\), \(\displaystyle{ |CA| = 8}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość bryły powstałej przez obrót wokół boku \(\displaystyle{ BC}\).


Nie wiem do końca jakie dwie bryły powstaną po przez obrót tego. Dwa różne stożki?

[Michalinho]

Po obrocie otrzymamy bryłę otrzymaną przez wycięcie ze stożka o tworzącej \(\displaystyle{ 8}\), stożka o tworzącej \(\displaystyle{ 7}\). Niech \(\displaystyle{ O}\) będzie spodkiem wierzchołka tego stożka na podstawę. Mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} r^2+|OB|^2=7^2 \\ r^2+(|OB|+3)^2=8^2 \end{cases}}\)

Po rozwiązaniu go dowolną metodą otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=4\sqrt{3} \\ |OB|=1 \end{cases}}\)
Pole powierzchni tej bryły to suma powierzchni bocznych stożków:
\(\displaystyle{ P_c=\pi rl_1+\pi rl_2=\pi\cdot 4\sqrt{3}\cdot(8+7)=60\pi \sqrt{3} \ j^2}\)

Objętość to różnica objętości tych stożków:
\(\displaystyle{ V_c=\frac{1}{3}\pi r^2|OC|-\frac{1}{3}\pi r^2|OB|=\frac{1}{3}\pi \cdot (4\sqrt{3})^2\cdot 3=48\pi \ j^3}\)

[Ania221]

Powstanie jedna bryła, złożona z połączonych stożków.
Promień podstawy stożków \(\displaystyle{ R=h}\) wysokości opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\)

Suma wysokości stożków \(\displaystyle{ H=h_1+h_2=\left|BC \right|}\)

Pole trójkąta z Herona i klasycznie

\(\displaystyle{ P= \sqrt{9 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6} = \frac{1}{2} \cdot 3R}\)

\(\displaystyle{ R=4 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \pi R^2H=48 \pi}\)

\(\displaystyle{ P_c= \pi R \cdot 8+ \pi R \cdot 7=60 \sqrt{3} \pi}\)

[Michalinho]

Ania221 nie ma racji. Trzeba zauważyć, że \(\displaystyle{ \angle ABC}\) jest rozwarty, bo \(\displaystyle{ 8^2>7^2+3^2}\). A więc różnica wysokości stożków będzie równa \(\displaystyle{ |BC|}\).

[Ania221]

Ups...masz rację

[kruszewski]

Oznaczając dodatkowo kąt u wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) jako \(\displaystyle{ \gamma}\) możemy napisać wg tw.Pappusa- Guldina:
Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) wokół osi do której przynależy jego bok \(\displaystyle{ BC}\):
\(\displaystyle{ V= \frac{ \pi }{3} \cdot BC \cdot AC^2sin^2\gamma}\)
a jej powierzchnia \(\displaystyle{ A=(AB+AC) \pi \cdot AC \cdot sin\gamma}\)
Tu szkic objaśniający odpowiednie relacje.
... UaglqsYpLc

W.Kr.