Cześć, proszę o sprawdzenie rozwiązania i ewentualne poprawienie błędów.
Zadanie.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt między ścianą boczną a podstawą jest równy \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz cosinus kąta między ścianami bocznymi.
Niech ten cosinus nazywa się \(\displaystyle{ \cos \beta}\), krawędź podstawy niech będzie równa \(\displaystyle{ a}\), wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\), wysokość ściany bocznej \(\displaystyle{ h}\)
Szukany przekrój to jedna krawędź podstawy i wysokości sąsiednich ścian bocznych i będzie to trójkąt równoramienny a szukany \(\displaystyle{ \cos \beta}\) na końcu obliczę z tw. cosinusów.
Z trójkąta prostokątnego który zawiera kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) obliczam wartość \(\displaystyle{ H = \frac{ \sqrt{3}a }{6} \tg \alpha}\) a następnie wartość \(\displaystyle{ h^{2} = \frac{a^{2}(\tg^{2}\alpha + 1)}{12}}\).
Wstawiam to do tw. cosinusów w trójkącie zawierającym \(\displaystyle{ \cos \beta}\):
\(\displaystyle{ a^{2} = (2 \cdot \frac{a^{2}(\tg^{2}\alpha + 1)}{12})(1 - \cos \beta) \Rightarrow \cos \beta = \frac{\tg^{2}\alpha-5}{\tg^{2}\alpha+1}}\)
Kąt między ścianami bocznymi w ostrosłupie
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 25 cze 2013, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 26 razy
Kąt między ścianami bocznymi w ostrosłupie
Teraz to zauważyłem że podstawiłem do tw. cosinusów nie tą wysokość co trzeba. Czyli muszę jeszcze obliczyć krawędź boczną \(\displaystyle{ b}\) i dopiero potem z tego \(\displaystyle{ \frac{ah}{2}=\frac{h_{b}b}{2}}\) obliczam tą potrzebną w zadaniu wysokość...
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Kąt między ścianami bocznymi w ostrosłupie
Kąt \(\displaystyle{ \beta}\) między ściana bocznymi Twojego ostrosłupa jest kątem trójkąta powstałego przez przecięcie ostrosłupa płaszczyzną normalną do krawędzi bocznej i przechodzącą przez przeciwległy do niej bok podstawy. Trójkąt ten jest równoramienny. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ h_n}\) wysokość tego trójkąta poprowadzona pomiędzy równymi bokami.
Dodatkowo oznaczymy przez \(\displaystyle{ H}\) wysokość ostrosłupa, przez \(\displaystyle{ h_p}\) wysokość trójkąta będącego podstawa ostrosłupa, przez \(\displaystyle{ a}\) bok tej podstawy, a przez \(\displaystyle{ \gamma}\) kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.
Zadanie sprowadza się do znalezienia zależności:
Dodatkowo oznaczymy przez \(\displaystyle{ H}\) wysokość ostrosłupa, przez \(\displaystyle{ h_p}\) wysokość trójkąta będącego podstawa ostrosłupa, przez \(\displaystyle{ a}\) bok tej podstawy, a przez \(\displaystyle{ \gamma}\) kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.
Zadanie sprowadza się do znalezienia zależności:
- \(\displaystyle{ \cos\beta=f(\alpha)}\)
- \(\displaystyle{ \tg\frac{\beta}{2}=\frac{a}{2h_n}=\frac{a}{2h_p\sin\gamma}=\frac{a}{2\frac{\sqrt{3}}{2}a\sin\gamma}=\frac{1}{\sqrt{3}\sin\gamma}}\)
- \(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{1-\tg^2\frac{\beta}{2}}{1+\tg^2\frac{\beta}{2}}=\frac{3\sin^2\gamma-1}{3\sin^2\gamma+1}}\)
- \(\displaystyle{ \sin^2\gamma=\frac{1-\cos2\gamma}{2}}\)
- \(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{1-3\cos2\gamma}{5-3\cos2\gamma}}\)
- \(\displaystyle{ H=\frac{1}{3}a\tg\alpha=\frac{2}{3}a\tg\gamma\quad\Rightarrow\quad tg\gamma=\frac{1}{2}\tg\alpha}\)
- \(\displaystyle{ cos2\gamma=\frac{1-\tg^2\gamma}{1+\tg^2\gamma}=\frac{4-\tg^2\alpha}{4+\tg^2\alpha}}\)
- \(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{4\tg^2\alpha-8}{8\tg^2\alpha+8}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Kąt między ścianami bocznymi w ostrosłupie
Mam prostszy wynik
Oznaczenia jak na rysunku.
Wyznaczam \(\displaystyle{ |OD|}\)
\(\displaystyle{ h_p}\) - wysokości trójkąta będącego podstawą
\(\displaystyle{ h_p= \frac{a\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ |OD|=\frac{1}{3}h_p}\)
\(\displaystyle{ |OD|=\frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ |OD|=\frac{a\sqrt{3}}{6}}\)
Wyznaczam wysokość ściany bocznej
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{|OD|}{h_s}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{h_s}}\)
\(\displaystyle{ h_s= \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{cos\alpha}}\)
\(\displaystyle{ h_s= \frac{a\sqrt{3}}{6cos\alpha}}\)
Wyznaczam krawędź boczna
\(\displaystyle{ k^2=\left( \frac{1}{2}a \right)^2+h_s^2}\)
\(\displaystyle{ k^2=\frac{1}{4}a^2+\left( \frac{a\sqrt{3}}{6cos\alpha}\right)^2}\)
\(\displaystyle{ k^2=\frac{1}{4}a^2+\frac{3a^2}{36cos^2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ k^2=\frac{9a^2cos^2\alpha}{36cos^2\alpha}+\frac{3a^2}{36cos^2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ k^2=\frac{9a^2cos^2\alpha+3a^2}{36cos^2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ k^2=\frac{a^2(9cos^2\alpha+3)}{36cos^2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ k= \sqrt{\frac{a^2(9cos^2\alpha+3)}{36cos^2\alpha}}}\)
\(\displaystyle{ k= \frac{a \sqrt{9cos^2\alpha+3} }{6cos\alpha}}\)
Wyznaczam \(\displaystyle{ h}\)
\(\displaystyle{ \frac{kh}{2}=\frac{ah_s}{2}}\)
\(\displaystyle{ kh=ah_s}\)
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{9cos^2\alpha+3} }{6cos\alpha}h=a\frac{a\sqrt{3}}{6cos\alpha}\ / \cdot 6cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ a \sqrt{9cos^2\alpha+3}h=a^2\sqrt{3}\ /:a \sqrt{9cos^2\alpha+3}}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{\sqrt{9cos^2\alpha+3}}}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{ \sqrt{3} \sqrt{3cos^2\alpha+1}}}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{a}{\sqrt{3cos^2\alpha+1}}}\)
Obliczam \(\displaystyle{ cos\beta}\)
(z twierdzenia cosinusów dla trójkąta BCE)
\(\displaystyle{ a^2=h^2+h^2-2h^2cos\beta}\)
\(\displaystyle{ 2h^2cos\beta=h^2+h^2-a^2}\)
\(\displaystyle{ 2h^2cos\beta=2h^2-a^2\ /:2h^2}\)
\(\displaystyle{ cos\beta=1- \frac{a^2}{2h^2}}\)
\(\displaystyle{ cos\beta=1- \frac{a^2}{2\left(\frac{a}{\sqrt{3cos^2\alpha+1}}\right)^2 }}\)
\(\displaystyle{ cos\beta=1- \frac{a^2}{\frac{2a^2}{3cos^2\alpha+1}}}}\)
\(\displaystyle{ cos\beta=1- \frac{3cos^2\alpha+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\beta= \frac{2-3cos^2\alpha-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\beta= \frac{1-3cos^2\alpha}{2}}\)
Oznaczenia jak na rysunku.
Wyznaczam \(\displaystyle{ |OD|}\)
\(\displaystyle{ h_p}\) - wysokości trójkąta będącego podstawą
\(\displaystyle{ h_p= \frac{a\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ |OD|=\frac{1}{3}h_p}\)
\(\displaystyle{ |OD|=\frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ |OD|=\frac{a\sqrt{3}}{6}}\)
Wyznaczam wysokość ściany bocznej
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{|OD|}{h_s}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{h_s}}\)
\(\displaystyle{ h_s= \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{cos\alpha}}\)
\(\displaystyle{ h_s= \frac{a\sqrt{3}}{6cos\alpha}}\)
Wyznaczam krawędź boczna
\(\displaystyle{ k^2=\left( \frac{1}{2}a \right)^2+h_s^2}\)
\(\displaystyle{ k^2=\frac{1}{4}a^2+\left( \frac{a\sqrt{3}}{6cos\alpha}\right)^2}\)
\(\displaystyle{ k^2=\frac{1}{4}a^2+\frac{3a^2}{36cos^2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ k^2=\frac{9a^2cos^2\alpha}{36cos^2\alpha}+\frac{3a^2}{36cos^2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ k^2=\frac{9a^2cos^2\alpha+3a^2}{36cos^2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ k^2=\frac{a^2(9cos^2\alpha+3)}{36cos^2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ k= \sqrt{\frac{a^2(9cos^2\alpha+3)}{36cos^2\alpha}}}\)
\(\displaystyle{ k= \frac{a \sqrt{9cos^2\alpha+3} }{6cos\alpha}}\)
Wyznaczam \(\displaystyle{ h}\)
\(\displaystyle{ \frac{kh}{2}=\frac{ah_s}{2}}\)
\(\displaystyle{ kh=ah_s}\)
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{9cos^2\alpha+3} }{6cos\alpha}h=a\frac{a\sqrt{3}}{6cos\alpha}\ / \cdot 6cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ a \sqrt{9cos^2\alpha+3}h=a^2\sqrt{3}\ /:a \sqrt{9cos^2\alpha+3}}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{\sqrt{9cos^2\alpha+3}}}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{ \sqrt{3} \sqrt{3cos^2\alpha+1}}}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{a}{\sqrt{3cos^2\alpha+1}}}\)
Obliczam \(\displaystyle{ cos\beta}\)
(z twierdzenia cosinusów dla trójkąta BCE)
\(\displaystyle{ a^2=h^2+h^2-2h^2cos\beta}\)
\(\displaystyle{ 2h^2cos\beta=h^2+h^2-a^2}\)
\(\displaystyle{ 2h^2cos\beta=2h^2-a^2\ /:2h^2}\)
\(\displaystyle{ cos\beta=1- \frac{a^2}{2h^2}}\)
\(\displaystyle{ cos\beta=1- \frac{a^2}{2\left(\frac{a}{\sqrt{3cos^2\alpha+1}}\right)^2 }}\)
\(\displaystyle{ cos\beta=1- \frac{a^2}{\frac{2a^2}{3cos^2\alpha+1}}}}\)
\(\displaystyle{ cos\beta=1- \frac{3cos^2\alpha+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\beta= \frac{2-3cos^2\alpha-1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\beta= \frac{1-3cos^2\alpha}{2}}\)