Kąt między ścianami bocznymi w ostrosłupie

[cz0rnyfj]

Cześć, proszę o sprawdzenie rozwiązania i ewentualne poprawienie błędów.

Zadanie.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt między ścianą boczną a podstawą jest równy \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz cosinus kąta między ścianami bocznymi.


Niech ten cosinus nazywa się \(\displaystyle{ \cos \beta}\), krawędź podstawy niech będzie równa \(\displaystyle{ a}\), wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\), wysokość ściany bocznej \(\displaystyle{ h}\)

Szukany przekrój to jedna krawędź podstawy i wysokości sąsiednich ścian bocznych i będzie to trójkąt równoramienny a szukany \(\displaystyle{ \cos \beta}\) na końcu obliczę z tw. cosinusów.

Z trójkąta prostokątnego który zawiera kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) obliczam wartość \(\displaystyle{ H = \frac{ \sqrt{3}a }{6} \tg \alpha}\) a następnie wartość \(\displaystyle{ h^{2} = \frac{a^{2}(\tg^{2}\alpha + 1)}{12}}\).
Wstawiam to do tw. cosinusów w trójkącie zawierającym \(\displaystyle{ \cos \beta}\):

\(\displaystyle{ a^{2} = (2 \cdot \frac{a^{2}(\tg^{2}\alpha + 1)}{12})(1 - \cos \beta) \Rightarrow \cos \beta = \frac{\tg^{2}\alpha-5}{\tg^{2}\alpha+1}}\)

[buttonik]

Wziąłeś pod uwagę chyba nie to h, ściany bocznej co trzeba.. tylko to prostopadłe do krawędzi podstawy.

[cz0rnyfj]

Teraz to zauważyłem że podstawiłem do tw. cosinusów nie tą wysokość co trzeba. Czyli muszę jeszcze obliczyć krawędź boczną \(\displaystyle{ b}\) i dopiero potem z tego \(\displaystyle{ \frac{ah}{2}=\frac{h_{b}b}{2}}\) obliczam tą potrzebną w zadaniu wysokość...

[buttonik]

Tak

[SlotaWoj]

Kąt \(\displaystyle{ \beta}\) między ściana bocznymi Twojego ostrosłupa jest kątem trójkąta powstałego przez przecięcie ostrosłupa płaszczyzną normalną do krawędzi bocznej i przechodzącą przez przeciwległy do niej bok podstawy. Trójkąt ten jest równoramienny. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ h_n}\) wysokość tego trójkąta poprowadzona pomiędzy równymi bokami.
Dodatkowo oznaczymy przez \(\displaystyle{ H}\) wysokość ostrosłupa, przez \(\displaystyle{ h_p}\) wysokość trójkąta będącego podstawa ostrosłupa, przez \(\displaystyle{ a}\) bok tej podstawy, a przez \(\displaystyle{ \gamma}\) kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.

Zadanie sprowadza się do znalezienia zależności:

• \(\displaystyle{ \cos\beta=f(\alpha)}\)

Mamy:

• \(\displaystyle{ \tg\frac{\beta}{2}=\frac{a}{2h_n}=\frac{a}{2h_p\sin\gamma}=\frac{a}{2\frac{\sqrt{3}}{2}a\sin\gamma}=\frac{1}{\sqrt{3}\sin\gamma}}\)

i podstawiamy do tożsamości:

• \(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{1-\tg^2\frac{\beta}{2}}{1+\tg^2\frac{\beta}{2}}=\frac{3\sin^2\gamma-1}{3\sin^2\gamma+1}}\)

Wykorzystujemy tożsamość:

• \(\displaystyle{ \sin^2\gamma=\frac{1-\cos2\gamma}{2}}\)

i mamy:

• \(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{1-3\cos2\gamma}{5-3\cos2\gamma}}\)

Ponieważ z wysokości ostrosłupa:

• \(\displaystyle{ H=\frac{1}{3}a\tg\alpha=\frac{2}{3}a\tg\gamma\quad\Rightarrow\quad tg\gamma=\frac{1}{2}\tg\alpha}\)

to podstawiając mamy:

• \(\displaystyle{ cos2\gamma=\frac{1-\tg^2\gamma}{1+\tg^2\gamma}=\frac{4-\tg^2\alpha}{4+\tg^2\alpha}}\)

a po podstawieniu do wzoru wyprowadzonego wcześniej:

• \(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{4\tg^2\alpha-8}{8\tg^2\alpha+8}}\)

[anna_]

Mam prostszy wynik

Oznaczenia jak na rysunku.

Wyznaczam \(\displaystyle{ |OD|}\)
\(\displaystyle{ h_p}\) - wysokości trójkąta będącego podstawą

\(\displaystyle{ h_p= \frac{a\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ |OD|=\frac{1}{3}h_p}\)

\(\displaystyle{ |OD|=\frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ |OD|=\frac{a\sqrt{3}}{6}}\)

Wyznaczam wysokość ściany bocznej
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{|OD|}{h_s}}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{h_s}}\)

\(\displaystyle{ h_s= \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{cos\alpha}}\)

\(\displaystyle{ h_s= \frac{a\sqrt{3}}{6cos\alpha}}\)

Wyznaczam krawędź boczna
\(\displaystyle{ k^2=\left( \frac{1}{2}a \right)^2+h_s^2}\)

\(\displaystyle{ k^2=\frac{1}{4}a^2+\left( \frac{a\sqrt{3}}{6cos\alpha}\right)^2}\)

\(\displaystyle{ k^2=\frac{1}{4}a^2+\frac{3a^2}{36cos^2\alpha}}\)

\(\displaystyle{ k^2=\frac{9a^2cos^2\alpha}{36cos^2\alpha}+\frac{3a^2}{36cos^2\alpha}}\)

\(\displaystyle{ k^2=\frac{9a^2cos^2\alpha+3a^2}{36cos^2\alpha}}\)

\(\displaystyle{ k^2=\frac{a^2(9cos^2\alpha+3)}{36cos^2\alpha}}\)

\(\displaystyle{ k= \sqrt{\frac{a^2(9cos^2\alpha+3)}{36cos^2\alpha}}}\)

\(\displaystyle{ k= \frac{a \sqrt{9cos^2\alpha+3} }{6cos\alpha}}\)

Wyznaczam \(\displaystyle{ h}\)
\(\displaystyle{ \frac{kh}{2}=\frac{ah_s}{2}}\)

\(\displaystyle{ kh=ah_s}\)

\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{9cos^2\alpha+3} }{6cos\alpha}h=a\frac{a\sqrt{3}}{6cos\alpha}\ / \cdot 6cos\alpha}\)

\(\displaystyle{ a \sqrt{9cos^2\alpha+3}h=a^2\sqrt{3}\ /:a \sqrt{9cos^2\alpha+3}}\)

\(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{\sqrt{9cos^2\alpha+3}}}\)

\(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{ \sqrt{3} \sqrt{3cos^2\alpha+1}}}\)

\(\displaystyle{ h= \frac{a}{\sqrt{3cos^2\alpha+1}}}\)

Obliczam \(\displaystyle{ cos\beta}\)
(z twierdzenia cosinusów dla trójkąta BCE)

\(\displaystyle{ a^2=h^2+h^2-2h^2cos\beta}\)

\(\displaystyle{ 2h^2cos\beta=h^2+h^2-a^2}\)

\(\displaystyle{ 2h^2cos\beta=2h^2-a^2\ /:2h^2}\)

\(\displaystyle{ cos\beta=1- \frac{a^2}{2h^2}}\)

\(\displaystyle{ cos\beta=1- \frac{a^2}{2\left(\frac{a}{\sqrt{3cos^2\alpha+1}}\right)^2 }}\)

\(\displaystyle{ cos\beta=1- \frac{a^2}{\frac{2a^2}{3cos^2\alpha+1}}}}\)

\(\displaystyle{ cos\beta=1- \frac{3cos^2\alpha+1}{2}}\)

\(\displaystyle{ cos\beta= \frac{2-3cos^2\alpha-1}{2}}\)

\(\displaystyle{ cos\beta= \frac{1-3cos^2\alpha}{2}}\)