Wyznacz wymiary prostopadłościanu wpisanego w kulę o pr R

prostystyl · Post autor: **prostystyl** » 26 kwie 2015, o 21:15

Wyznacz wymiary prostopadłościanu wpisanego w kulę o promieniu R, który ma największą objętość.
Pomoże ktoś? To chyba ekstremum maksimum prawda? ale z czego liczyć?

jutrvy · Post autor: **jutrvy** » 26 kwie 2015, o 21:26

Masz dane \(\displaystyle{ R}\), więc musisz napisać funkcję \(\displaystyle{ V(u)}\), gdzie \(\displaystyle{ u}\) będzie zmiennym parametrem, zapewne we wzorze tej funkcji wystąpi nasze dane \(\displaystyle{ R}\). Napisz najpierw wzór na objętość takiego prostopadłościanu i mając dane \(\displaystyle{ R}\) spróbuj uzależnić tę objętość od jednego parametru.

Jak nie pomoże, to pisz - pozdrawiam

szachimat · Post autor: **szachimat** » 26 kwie 2015, o 21:31

Czy ten prostopadłościan jest dowolny, czy ma może w podstawie kwadrat, o czym nie dopisałeś?

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 27 kwie 2015, o 15:21

Żadnych założeń. Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą długościami krawędzi naszego prostopadłościanu wpisanego w kulę o promieniu \(\displaystyle{ R}\). Oczywiście przekątna prostopadłościanu to średnica kuli więc: \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}=4R^{2}}\). Ponadto z nierówności między średnią geometryczną i kwadratową:
\(\displaystyle{ V=abc \le \left(\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}\right)^{3}=\sqrt{\frac{4R^{2}}{3}}^{3}=\frac{8R^{3}}{3\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}R^{3}}{9}}\)
Za błędy przepraszam bo z telefonu źle się pisze w LaTeXu.

prostystyl · Post autor: **prostystyl** » 27 kwie 2015, o 16:29

nie jest napisane czy sześcian,
a to nie jest zadanie na całki/funkcje wielu zmiennych?

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 27 kwie 2015, o 17:14

Ok, może nie napisałem wniosku który płynie z nierówności która powstała wyżej. Otóż, Widać, że maksymalna objętość takiego prostopadłościanu jest nie większa niż \(\displaystyle{ \frac{8\sqrt{3}}{9}R^{3}}\) a ponadto równość w tej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a=b=c}\), a więc gdy prostopadłościan jest sześcianem. Przepraszam, nieco roztargniony jestem
Wniosek: Spośród prostopadłościanów wpisanych w sferę o promieniu \(\displaystyle{ R}\) największą objętość ma sześcian i wynosi ona \(\displaystyle{ \frac{8\sqrt{3}}{9}R^{3}}\).
Teraz już można powiedzieć, że rozwiązałem zadanie.

prostystyl · Post autor: **prostystyl** » 27 kwie 2015, o 18:41

Mistrzu ogrome dzięki, zadanie pewnie dobrze rozwiązane, ale mam kolokwium z funkcji wielu zmiennych, i całek więc pewnie pasowałoby to na ekstrema globalne policzyć, bo o średnia geometryczna i kwadratowa to chyba obce mi pojęcia.

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 27 kwie 2015, o 19:51

Ok. Masz funkcję trzech zmiennych
\(\displaystyle{ V\left(a,b,c\right)=abc}\)
Masz znaleźć jej maksimum dla \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) przy warunku \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}=4R^{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ R}\) jest stałą. Od czego zaczniesz w takim zadaniu? Jakie warunki muszą być spełnione jeżeli funkcja ma mieć w jakimś punkcie ekstremum (w naszym przypadku maksimum) ?

prostystyl · Post autor: **prostystyl** » 27 kwie 2015, o 19:55

ehhh nie mam pojęcia, generalnie to ekstrema globalne- liczę pochodną po x,y przyrównuje do 0, punkt stacjonarny, następnie liczę na tych brzegach, i wybieram z wyliczonych wartości w punktach największą wartość a tutaj to nie wiem

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 28 kwie 2015, o 01:38

No tak samo, tylko są 3 zmienne