Ostrosłup prawidłowy trójkątny

[micsko123]

Witam, potrzebuje pomocy z zadaniem, mianowicie:

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym, kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy ma miarę \(\displaystyle{ \beta}\), zaś kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę 2\(\displaystyle{ \alpha}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \sin \beta \cdot\tg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}}\).

[lukasz1804]

Witaj,

na początku spytam, czy potrafisz zlokalizować kąty, o których mowa w treści zadania?

[micsko123]

Naturalnie. Wiem też, że kąt dwuścienny tworzy trójkat równoramienny, z ramionami będacymi wysokoścami ścian bocznych, co rezultuje w tym, że kąt 'na górze' trójkąta równoramiennego wynosi \(\displaystyle{ \alpha}\), bo jest podzielony na pół przez wysokość.

[lukasz1804]

Super.

To robimy oznaczenia:
\(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy,
\(\displaystyle{ b}\) - krawędź boczna,
\(\displaystyle{ h_a}\) - wysokość ściany bocznej opuszczona do krawędzi \(\displaystyle{ a}\),
\(\displaystyle{ h_b}\) - wysokość ściany bocznej opuszczona do krawędzi \(\displaystyle{ b}\),

Ze wzoru na pole trójkąta mamy \(\displaystyle{ bh_b=ah_a}\).
Z twierdzenia Pitagorasa: \(\displaystyle{ b^2=h_a^2+\frac{a^2}{4}}\)
Z twierdzenia kosinusów (we wspomnianym przez Ciebie trójkącie równoramiennym): \(\displaystyle{ a^2=2h_b^2(1-\cos 2\alpha)=2h_b^2\cdot 2\sin^2\alpha=4h_b^2\sin^2\alpha}\), skąd \(\displaystyle{ a=2h_b\sin\alpha}\).
Z definicji kosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym: \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{3}=b\cos\beta}\)

Z podanych czterech zależności powinno się udać wykazać żądaną równość...

[robsonxd]

@lukasz1804 - mógłbyś to dokończyć? Bo nie wychodzi