Stożek wycinek koła

[macikiw2]

Z papierowego koła o promieniu \(\displaystyle{ R}\) wycięto wycinek kołowy, który jest powierzchnią boczną stożka o maksymalnej objętości. Jaka była miara kąta środkowego \(\displaystyle{ \alpha}\) wyciętego wycinka?

Jakie równanie ułożyć w zależności od \(\displaystyle{ \alpha}\) ?

Zrobiłem coś takiego ale nie wiem czy dobrze. Gdzie \(\displaystyle{ r}\) to promień podstawy stożka a \(\displaystyle{ H}\) to jego wysokość
\(\displaystyle{ H=\cos\left( \frac{ \alpha }{2} \right) \cdot R}\)
\(\displaystyle{ r ^{2}+H ^{2} = R ^{2}}\)

\(\displaystyle{ r ^{2}= R ^{2}- \cos ^{2} \left( \frac{ \alpha }{2} \right) \cdot R ^{2}}\)

\(\displaystyle{ V=\left[ R ^{2} - \cos ^{2} \left( \frac{ \alpha }{2} \right) \cdot R ^{2} \right] \cdot R \cos\left( \frac{ \alpha }{2} \right) \cdot \frac{ \pi }{3}}\)

Dobrze to będzie ?



Czyli \(\displaystyle{ V=\sin ^{2}\left( \frac{ \alpha }{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{ \alpha }{2} \right) \cdot R ^{3} \cdot \frac{ \pi }{3}}\)-- 22 mar 2015, o 15:37 --A może z wycinka koła skorzystać ?

\(\displaystyle{ R= \frac{ \alpha }{2 \pi } \cdot 2 \pi r}\)

\(\displaystyle{ R= \alpha \cdot r}\)

\(\displaystyle{ r= \frac{ \alpha }{R}}\)

\(\displaystyle{ H= \sqrt{R ^{2} - \frac{ \alpha ^{2} }{R ^{2} } }}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{ \alpha ^{2} }{R ^{2} } \cdot \sqrt{R ^{2} - \frac{ \alpha ^{2} }{R ^{2} } } \cdot \frac{ \pi }{3}}\)

[florek177]

poszukaj teraz \(\displaystyle{ V_{max}( \alpha )}\)

[macikiw2]

\(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \sqrt{6 }\cdot R ^{2} }{ 3}}\)

Dalsze polecenie "Wynik podaj w radianach" hm...

[florek177]

kąt rozwarcia stożka nie jest tym samym co kąt środkowy wycinka kołowego - to do pierwszego.
wyjdź z porównania wzorów na pole wycinka koła ( kąt jest w mierze łukowej ) i powierzchni bocznej stożka - to do drugiego.

[pure1996]

Wydaje mi się że źle oznaczyłeś/aś r przy pomocy R i Alfy.
2pi r= 2pi R * (alfa/2pi)
r =(R* alfa) /2pi
P podst = (R^2 * alfa ^2)/(4 pi)
H^2= l^2 - r^2 gdzie l=R
H^2=R^2(1-(alfa^2)/(4 pi^2))
V= (R^2 * alfa ^2)/(4 pi)*R pierwiastek[(1-(alfa^2)/(4 pi^2))]
Alfe wciągamy pod pierwiastek ( wgl nie rozumiem co robi R w Twoim pierwiastku, V ma zależeć od Alfy a nie od alfa *R)
Skoro już mamy Alfe pod pierwiastkiem ( i tylko ta)
V = 1/3 * R^3 * 1/4 * pierwiastek [(4pi^2*alfa^4 -alfa^6)/4pi^2]
Robimy pochodną od funkcji pod pierwiastkiem ( bez licznika bo nie wpływa on na miejsca zerowe pochodne pochodnej)
Wynik wychodzi w radianach.
Mogę się mylić więc zapraszam do dalszej dyskusji