Wykaż, że tangens kąta pomiędzy podstawą a płaszczyzną

[jordanmafioza]

Miara kąta między ramionami ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 2α .
Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i przez środki
sąsiednich krawędzi podstawy. Wykaż, że tangens kąta, który ta płaszczyzna tworzy z podstawą
jest równy \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2cos2 \alpha}}{sin \alpha}}\)
Wychodzi mi błędny tangens, liczyłem z 10 razy, mniej więcej rozumiem zadanie,
nie wiem co jest nie tak.



Prosze o pomoc z góry dziękuję bardzo : )

[Barbara777]

Oznaczenia

\(\displaystyle{ H}\) - dlugosc wysokosci ostroslupa
\(\displaystyle{ a}\) - dlugosc podstawy
\(\displaystyle{ h}\)- dl. wysokosci sciany bocznej
\(\displaystyle{ \beta}\) - kat, tangens ktorego nalezy znalezc

Dany przekroj jest trojkatem rownoramiennym (jego ramiona to wysokosci sasiednich scian bocznych ostroslupa). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ x}\) odleglosc srodka symetrii podstawy ostroslupa (czyli punktu przciecia sie przekatnych podstawy) od podstawy tego trojkata.

Wtedy \(\displaystyle{ \tan\beta=\frac{H}{x}}\)
(Jesli masz klopoty z narysowaniem, to ci jakos rysunek przesle, ale sprobuj sam.)

Wystarczy wyrazic \(\displaystyle{ H}\) i \(\displaystyle{ x}\) przez \(\displaystyle{ \alpha}\) i np \(\displaystyle{ a}\).

No to jedziemy (tam, gdzie pisze trzy kropki, trzeba sie chwile zastanowic, albo cos przksztalcic).

\(\displaystyle{ x=\cdots=\underline{\frac{a\sqrt 2}{4}}}\)

\(\displaystyle{ h=\frac{a}{2\tan\alpha}}\)

\(\displaystyle{ H^2+\Big(\frac{a}{2}\Big)^2=h^2}\)

\(\displaystyle{ H^2=\frac{a^2}{4\tan^2\alpha}-\frac{a^2}{4}=\frac{a^2(1-\tan^2\alpha)}{4\tan^2\alpha}}\)

\(\displaystyle{ H=\frac{a\sqrt{1-\tan^2\alpha}}{2\tan\alpha}=\cdots =\underline{\frac{a\sqrt{\cos 2\alpha}}{2\sin\alpha}}}\)

\(\displaystyle{ \tan\beta=\frac{H}{x}=\frac{4a\sqrt{\cos 2\alpha}}{2\sqrt 2a\sin\alpha}=\frac{\sqrt{2\cos 2\alpha}}{\sin\alpha}}\)

[jordanmafioza]

Dziękuje bardzo za pomoc.