Objętość ostrosłupa o danym kącie dwuściennym

[andrzej1_1]

Witam,
przerabiałem właśnie arkusz maturalny z matmy rozszerzonej z 2010 roku. Ostatnie zadanie ma w kluczu jeden sposób rozwiązania i nie jestem pewien czy moja wersja jest prawidłowa.

Zadanie:
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Ściany boczne są
trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa 2α .
Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Rysunek:

AU

aL5TL.jpg (39.92 KiB) Przejrzano 73 razy

Rozwiązanie:

• najpierw korzystam z twierdzenia kosinusów

\(\displaystyle{ a^2 = 2h^2(1-cos2a) \\
h^2 = \frac{a^2}{2(1-cos2a)}}\)
obliczam wysokość sciany bocznej z pitagorasa:
\(\displaystyle{ h_{b} = \sqrt{b^2-\frac{a}{4}^{2}}}\)

• teraz pole ściany bocznej mogę wyrazić na dwa sposoby:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}ah_{b} \\
bh = ah_{b} \\
bh = a\sqrt{b^2-\frac{a}{4}^{2}} \\
b^2h^2 = a^2(b^2-\frac{a}{4}^{2}) \\
b^2(a^2-h^2)= \frac{a}{4}^{2} \\
b^2 = \frac{a^4}{4(a^2-h^2)}}\)

• wysokość H obliczam z pitagorasa:

\(\displaystyle{ H = \sqrt{b^2-(\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}}}\)
i po uproszczeniach wychodzi
\(\displaystyle{ H = \frac{a cos\alpha}{\sqrt{3}\sqrt{1-2cos2\alpha}}}\)

Edit:
po poprawce wynik jest już prawidłowy.

[florek177]

H -w kluczu jest źle, poszukaj na forach innego przykładowego rozwiązania zadania.

U ciebie w \(\displaystyle{ H = .... \,\,}\) - pod pierwiastkiem brak kwadratu drugiego wyrazu.

[andrzej1_1]

florek177, Po poprawce wychodzi mi tak jak w kluczu. Dzięki za pomoc.