Mamy koło, wycięto z niego wycinek o promieniu R, jest on powierzchnią boczną stożka o maksymalnej objętości. Mamy policzyć miarę kąt środkowego, wynik w radianach ale to już szczegół, proszę tutaj o sprawdzenie poprawności wykonania zadania, ja to robie tak:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P_p\cdot H}\) no i dobrze byłoby wszystko uzależnić od R i alfy:
\(\displaystyle{ P_p=\pi r^2}\) jak widać musimy jakoś "wsunąć" alfe i R do naszego r, ja to robie z zależności długości okręgu od R:
\(\displaystyle{ 2\pi r=\frac{\alpha}{360}\cdot2\pi R}\) , dla ułatwienia zastąpie \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{360}=x}\)
\(\displaystyle{ P_p=\pi R^2 x^2}\)
potem tylko podstawimy wynik:
\(\displaystyle{ r=xR,0<x<1}\) no i wydaje się, ze wszystko jest, jeszcze tylko wyprowadzimy wysokość stożka:
\(\displaystyle{ H=\sqrt{R^2-(xR)^2}=R\sqrt{1-x^2}}\)
wstawiamy wszystko do wzoru na objętość:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot\pi R^2 x^2\cdot R\sqrt{1-x^2}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} \cdot R^3 \pi \cdot \sqrt{x^4-x^6}=A\cdot \sqrt{x^4-x^6}}\)
liczymy pochodną:
nie musimy brać A pod uwagę bo jak funkcja pod pierwiastkiem bedzie największa to automatycznie objętość też będzie największa (pamiętamy o dziedzinie funkcji)
\(\displaystyle{ f(x)=x^4-x^6}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=4x^3-6x^5}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=0 \Leftrightarrow 4x^3-6x^5=0}\)
\(\displaystyle{ -x^3(6x^2-4)=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=96}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=4\sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{6}}{3}}\)
no i teraz wstawiam:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\alpha}{360} \Rightarrow \alpha=120\sqrt{6}}\)
no i jeszcze przekształcamy to na radiany:
\(\displaystyle{ 120\sqrt{6} \cdot \frac{\pi}{180}= \frac{2\sqrt{6}}{3}\pi [rad]}\)
Uważacie, że to jest dobrze? Prawde mówiąc nie lubie tego obecnie w szkołach, że zawsze wychodzą "ładne" wyniki(chociaż ten tak naprawde jest całkiem ładny) bo potem jak przychodzi zadanie z jakimś "niecodziennym wynikiem" to od razu sie szuka błędu, który "przecież musi tu gdzieś być".
