Objętość stożka i ostrosłupa

[oleczka90]

1. W kulę wpisano stożek. Wykaż, że objętość stożka \(\displaystyle{ Vs}\) i objętość kuli \(\displaystyle{ Vk}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ Vs \le \frac{8}{27} Vk}\)
2. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość \(\displaystyle{ a}\). Kąt między krawędzią boczną i podstawą jest równy kątowi płaskiemu przy wierzchołku ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa.

[SlotaWoj]

Zadanie 1.

Trzeba wykazać, że \(\displaystyle{ \frac{V_s(R)}{V_k(R)}}\) osiąga maksimum równe \(\displaystyle{ 8/27}\), gdzie:

• Objętość stożka o średnicy podstawy \(\displaystyle{ d}\) (na sferze) i wysokości \(\displaystyle{ R+h}\) : \(\displaystyle{ V_s(R)=\frac{\pi d^2}{12}\left(R+h\right)}\)
  Objętość kuli: \(\displaystyle{ V_k(R)=\frac{4\pi R^3}{3}}\)

Musisz domyślić się, co to jest \(\displaystyle{ h}\) i jak je wyznaczyć.

Zadanie 2.

Ostrosłup jest prawidłowy, więc podstawą jest ... .
Kąt płaski, to kąt między ścianami, a nie krawędziami.

\(\displaystyle{ h}\) – wysokość ostrosłupa,
\(\displaystyle{ R}\) – przekątna podstawy.

Mamy dwa trójkąty prostokątne:

1. \(\displaystyle{ \frac{R}{2}}\) , \(\displaystyle{ h}\) , \(\displaystyle{ \alpha}\) – kat przy \(\displaystyle{ \frac{R}{2}}\) ,
2. \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\) , \(\displaystyle{ h}\) , \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\) – kąt przy \(\displaystyle{ h}\) .