Miara kąta nachylenia ściany bocznej do postawy

marta1 · Post autor: **marta1** » 15 mar 2015, o 11:12

W pewnym ostrosłupie o obj 2400 podstawa jest wielokątem, którego obwód wynosi 100, a pole 600. Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny pod tym samym kątem. Wyznacz miarę tego kąta.

Będę wdzięczna za wskazówki, szczególnie z tym, iż nie wiem czym jest podstawa

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 15 mar 2015, o 12:07

Ostrosłup jest prawidłowy, tzn. jego podstawą jest wielokąt foremny. Tylko wtedy jest możliwa równość kątów nachylenia ścian bocznych do podstawy.

marta1 · Post autor: **marta1** » 15 mar 2015, o 12:11

Do tego doszłam, mam też wysokość (z objętości i pola podstawy), więc w sumie powinnam wyznaczyć promień okręgu opisanego na figurze, gdyż środek będzie spodkiem wysokości. Czy powinnam podstawiać "ręcznie" każdą długość boku pod obwód a następnie sprawdzać czy zgadza się pole podstawy? Jednak szukam szybszego sposobu...

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 15 mar 2015, o 13:23

Obwód, pole podstawy, objętość:

\(\displaystyle{ L=na}\)

\(\displaystyle{ S_P=\frac{na^2}{4\tg\frac{\pi}{n}}=\frac{nar}{2}}\) – gdzie \(\displaystyle{ r}\) promień okręgu wpisanego w podstawę

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}S_Ph}\) – gdzie \(\displaystyle{ h}\) wysokość ostrosłupa

Masz wyznaczyć \(\displaystyle{ \tg\alpha=\frac{h}{r}}\) .

Zwróć uwagę na to, że \(\displaystyle{ n}\) nie jest dane, ale też nie jest do niczego potrzebne.

marta1 · Post autor: **marta1** » 15 mar 2015, o 13:50

Wyszło, dziękuję

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 15 mar 2015, o 13:58

No to super!

szachimat · Post autor: **szachimat** » 15 mar 2015, o 14:37

SlotaWoj pisze:Ostrosłup jest prawidłowy, tzn. jego podstawą jest wielokąt foremny. Tylko wtedy jest możliwa równość kątów nachylenia ścian bocznych do podstawy.

Jeżeli spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę,to ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny pod tym samym kątem. A zatem w podstawie nie musi być wielokąt foremny (jest to szczególny przypadek).

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 15 mar 2015, o 16:28

Do Marty1:

Powyżej Szachimat wykazał, że uzyskane rozwiązanie zadania dotyczy jedynie szczególnego przypadku, a ja się „zagalopowałem”. Trzeba znaleźć ogólne rozwiązanie zadania, chyba że w temacie zadania było jeszcze coś, o czym nie napisałaś.

Szachimatowi gratuluję czujności i dziękuję.

marta1 · Post autor: **marta1** » 15 mar 2015, o 17:21

To wszystkie informacje. W takim razie faktycznie, nie musi być to wielokąt foremny.

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 15 mar 2015, o 17:34

W ogólnym przypadku przydadzą się informacje stąd:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Czworok%C4%85t#Okr.C4.85g_wpisany_i_opisany

.

marta1 · Post autor: **marta1** » 15 mar 2015, o 17:40

Dziękuję, znalazłam jeszcze taką informację

Pole wielokąta, w który można wpisać okrąg jest równe iloczynowi połowy jego obwodu i długości promienia tego okręgu.

Co w sumie pozwala rozwiązać zadanie w dwóch linijkach

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 15 mar 2015, o 17:43

Marto1!
Rodzice mogą być z Ciebie dumni. Inne osoby pewnie też.

marta1 · Post autor: **marta1** » 15 mar 2015, o 17:45

Dziękuję jeszcze raz za natchnienie

szachimat · Post autor: **szachimat** » 15 mar 2015, o 18:34

marta1 pisze:Dziękuję, znalazłam jeszcze taką informację

Pole wielokąta, w który można wpisać okrąg jest równe iloczynowi połowy jego obwodu i długości promienia tego okręgu.

To łatwo zapamiętać, gdyż łącząc punkt, który jest środkiem okręgu z wierzchołkami, otrzymujesz trójkąty o wysokości "r". Pole wielokąta jest sumą pól tych trójkątów - co sprowadzi się do tego, co napisałaś wyżej. Wystarczy r i jedną drugą wyłączyć przed nawias.