Powierzchnia boczna stożka obrotowego.

[NogaWeza]

Witam. Nigdzie nie znalazłem odpowiedzi do tego zadania, więc wstawię go tutaj z nadzieją na jakieś wskazówki.

Jakie największe pole powierzchni bocznej może mieć stożek obrotowy, w którym obwód przekroju osiowego ma długość c?


Moje podejście do tego problemu jest następujące:
Na początek rozpatruję przekrój osiowy stożka - będzie to trójkąt równoramienny o ramionach długości \(\displaystyle{ l}\) i podstawie długości \(\displaystyle{ 2r}\). Z treści zadania wynika, że \(\displaystyle{ 2r + 2l = c}\) gdzie \(\displaystyle{ c}\) jest stałą. Wyznaczam zatem jedną zmienną w zależności od drugiej. \(\displaystyle{ r= \frac{c}{2} - l}\). Pole powierzchni bocznej stożka wyraża się wzorem \(\displaystyle{ \pi r l}\), więc podstawiam by uzyskać wyrażenie zależne tylko od jednej zmiennej. Otrzymuję \(\displaystyle{ P(l)=\pi ( \frac{c}{2} - l)l=- \pi l^2 + \frac{1}{2} \pi c l}\). Jest to funkcja kwadratowa, osiąga maksimum w wierzchołku, czyli dla \(\displaystyle{ \frac{ - \frac{1}{2} \pi c }{ -2 \pi}}\) czyli dla \(\displaystyle{ \frac{1}{4} c}\) ale to by oznaczało, że \(\displaystyle{ r= \frac{1}{4} c}\) ale to jest sprzeczne, bo wtedy przekrój osiowy stożka nie będzie trójkątem. Czy popełniłem gdzieś jakiś błąd? Czy może jest tu jakieś obostrzenie, które pominąłem? Bardzo proszę o pomoc.

[mortan517]

Równanie kwadratowe masz ze względu na \(\displaystyle{ l}\), a nie \(\displaystyle{ r}\).

[NogaWeza]

\(\displaystyle{ r= \frac{c}{2} - l}\), dla \(\displaystyle{ l=\frac{1}{4} c}\) otrzymuję \(\displaystyle{ r = \frac{c}{2} - \frac{c}{4} = \frac{c}{4} = l}\) no a \(\displaystyle{ l}\) powinno być różne od \(\displaystyle{ r}\)

[Dilectus]

Spójrz na to inaczej: stożek obrotowy, w którym obwód przekroju osiowego jest wielkością stałą, ma największą powierzchnię boczną wtedy, gdy jego wysokość jest równa zeru.

[NogaWeza]

Czy to znaczy, że w tym zadaniu nie będzie dokładnej, liczbowej odpowiedzi? Pole będzie największe, gdy \(\displaystyle{ r}\) dąży do \(\displaystyle{ l}\), bo to będzie powodowało wydłużenie się ramion trójkąta, który jest przekrojem osiowym, do nieskończoności, przy czym wysokość tego przekroju będzie zbliżać się asymptotycznie do \(\displaystyle{ 0}\). Zgadza się?

[szachimat]

Wygodniej to będzie zrozumieć na takim przykładzie, gdzie stały obwód jest równy 12.
Wówczas, żeby trójkąt istniał, to promień \(\displaystyle{ r \in \left( 0;3\right)}\). Jak promień dąży do zera, to tworząca do 6, a jak promień dąży do 3, to tworząca do również do 3.
A zatem łatwiej byś zauważył dziedzinę swojej funkcji, gdybyś miał w niej zmienną "r". Wprawdzie wzór byłby podobny, ale stwierdziłbyś, że ma on sens, gdy \(\displaystyle{ r \in \left( 0; \frac{1}{4}c \right)}\). Czyli największa wartość nie istnieje. Istniałaby dla \(\displaystyle{ r= \frac{1}{4}c}\), ale nie należy to do dziedziny.
Przy twojej zmiennej "l" miałbyś inaczej wyglądającą dziedzinę, gdyż \(\displaystyle{ l \in \left( \frac{1}{4}c; \frac{1}{2}c \right)}\), co jest trochę trudniejsze do zinterpretowania.

Szach i Mat