obrót równoległoboku

wyluzuj · Post autor: **wyluzuj** » 4 mar 2015, o 17:39

Boki równoległoboku maja długość \(\displaystyle{ 6cm}\) i \(\displaystyle{ 4cm}\), a kąt ostry jest równy \(\displaystyle{ 60}\) stopni. oblicz objętość \(\displaystyle{ V}\) i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej w wyniku obrotu równoległoboku wokół dłuższego boku.

szachimat · Post autor: **szachimat** » 4 mar 2015, o 17:53

Obliczyłem:
\(\displaystyle{ V=72 \pi}\)
\(\displaystyle{ P _{c}=40 \pi \sqrt{3}}\)

wyluzuj · Post autor: **wyluzuj** » 4 mar 2015, o 18:02

ale jak to zrobić? Odpowiedzi tez potrafię sobie sprawdzić...

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 4 mar 2015, o 18:36

Po obrocie otrzymasz figurę, która wygląda mniej więcej tak (rysunek nie mój):

: AU; rysunek75062.png (3.93 KiB) Przejrzano 636 razy

Objętość tej bryły jest równa objętości walca o podstawie równej średnicy koła i wysokości \(\displaystyle{ 6}\). Żeby znaleźć promień koła, korzystasz z własności trójkąta równobocznego. Masz podany kąt \(\displaystyle{ 60^\circ}\), więc promień koła jest po prostu wysokością trójkąta równobocznego o boku \(\displaystyle{ 4}\), czyli \(\displaystyle{ 2\sqrt3}\).
Pole powierzchni to suma pola bocznego walca o promieniu \(\displaystyle{ 2\sqrt3}\) i wysokości \(\displaystyle{ 6}\) oraz dwóch pól bocznych stożka o promieniu podstawy \(\displaystyle{ 2\sqrt3}\) i tworzącej \(\displaystyle{ 4}\).

szachimat · Post autor: **szachimat** » 4 mar 2015, o 18:37

wyluzuj - w wyniku obrotu powstaje walec ze stożkiem (np. u góry) i takim samym wydrążonym stożkiem (np. na dole). A zatem gdyby ten stożek z góry odciąć i wcisnąć w dolną część, to otrzymamy tylko walec o wysokości 6 i promieniu podstawy \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3}}\) (co łatwo wyliczyć z cosinusa).
Natomiast na powierzchnię bryły po obrocie składa się powierzchnia boczna walca i dwa razy powierzchnia boczna stożka. Podstaw tylko do podstawowych wzorów i wyjdzie.
PS.
Trochę się spóźniłem z odpowiedzią.