Wysokość w czworościanie foremnym

Mak10 · Post autor: **Mak10** » 27 lut 2015, o 00:03

Czy ktoś mógłby mi pokazać/powiedzieć dlaczego wysokość w czworościanie foremnym przecina podstawę w punkcie środka okręgu wpisanego/opisanego? Pewnie głupie pytanie ale w internecie wszędzie zakładają to jako oczywistość i nie umiem do tego dojść...

Z góry dziękuje

Hydra147 · Post autor: **Hydra147** » 27 lut 2015, o 00:13

Niech \(\displaystyle{ D'}\) będzie rzutem \(\displaystyle{ D}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ ABC}\). Wówczas trójkąty \(\displaystyle{ DD'A,DD'B,DD'C}\) są parami przystające, gdyż są prostokątne, mają wspólny bok \(\displaystyle{ DD'}\) i równe długości przeciwprostokątnych jako boki czworościanu foremnego. A zatem \(\displaystyle{ D'A=D'B=D'C}\), tzn. punkt \(\displaystyle{ D'}\) jest środkiem okręgu opisanego na \(\displaystyle{ ABC}\), a skoro ten jest równoboczny, to jest też środkiem okręgu wpisanego i wielu innych punktów...

Mak10 · Post autor: **Mak10** » 27 lut 2015, o 00:24

Rzeczywiście, banalne rozwiązanie. A ja męczyłem się z układami równań przekrojów..

Bardzo dziękuje.

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 27 lut 2015, o 20:06

Generalnie prawdziwe dla ostrosłupów (a czworościan foremny jest ostrosłupem) są następujące dwa fakty:
1. Jeżeli w ostrosłupie wszystkie krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod jednakowym kątem, to spodek wysokości ostrosłupa leży w środku okręgu opisanego na podstawie.
2. Jeżeli w ostrosłupie wszystkie ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod jednakowym kątem, to spodek wysokości ostrosłupa leży w środku okręgu wpisanego w podstawę.