Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.

[Anxious]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). Przez krawędź podstawy od długości a poprowadzono płaszczyznę tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt \(\displaystyle{ \beta ( \beta < \alpha )}\). Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{a^{2}\tg ^{2}\alpha }{\cos \beta(\tg \alpha+ \tg \beta)}}\)

Będę bardzo wdzięczny za pomoc

[SlotaWoj]

Sprawdź, bo \(\displaystyle{ \frac{a^{2}\tg^{2}\alpha}{\cos\beta(\tg\alpha+\tg\beta)}}\) na pewno nie jest poprawną odpowiedzią.

Uzasadnienie: Przekrojem ostrosłupa w ogólnym przypadku jest trapez. Gdy \(\displaystyle{ \beta=0}\), to przekrojem jest podstawa ostrosłupa i ma on pole \(\displaystyle{ a^2}\). Gdy \(\displaystyle{ \beta=\alpha}\) to przekrojem jest ściana boczna ostrosłupa i ma on pole \(\displaystyle{ \frac{a^2}{4\cos\alpha}}\) . Żadnej z tych granicznych wartości pola nie daje ww. zależność, więc nie może być poprawna.

[Anxious]

Rzeczywiście zjadłem kwadrat w mianowniku powinno być \(\displaystyle{ \frac{a^{2}\tg^{2}\alpha}{\cos\beta(\tg\alpha+\tg\beta)^{2}}}\) lub inaczej \(\displaystyle{ \frac{a^{2}\sin ^{2}\alpha \cos \beta }{\sin ^{2}( \alpha + \beta )}}\). Wciąż nie mam pomysłu na to zadanie.

[SlotaWoj]

Teraz się zgadza.

Zacznij od rysunku. W tej chwili nie mam możliwości sporządzania rysunków w postaci elektronicznej nadającej się do wstawiania, więc opis musi wystarczyć.

Przekrojem ostrosłupa będzie w ogólnym przypadku trapez o dłuższej podstawie \(\displaystyle{ a}\) będącej jednocześnie bokiem podstawy ostrosłupa i krótszej podstawie \(\displaystyle{ c}\) odległej od przeciwległego boku podstawy o \(\displaystyle{ b}\). Jeśli wysokość ściany bocznej ostrosłupa oznaczymy \(\displaystyle{ l=\frac{a}{2\cos\alpha}}\) to \(\displaystyle{ c=\frac{l-b}{l}a}\) (z proporcji). Jednocześnie (z twierdzenia sinusów) mamy wysokość trapezu \(\displaystyle{ h=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}b}\) . Pole trapezu to \(\displaystyle{ S=\frac{a+c}{2}h}\) .