istnienie czworościanu

[SzalonyMatematyk]

Czy jest jakiś ogólny sposób na sprawdzenie czy istnieje czworościan o zadanych wysokościach?

[szachimat]

Czy jest jakiś ogólny sposób na sprawdzenie czy istnieje czworościan o zadanych wysokościach?

Sprecyzuj pytanie, bo mówiąc krótko "czworościan" mamy na myśli "czworościan foremny". Czy masz na myśli bryłę o czterech ścianach? I co to znaczy: "czworościan o zadanych wysokościach" (ile tych wysokości)?

[SzalonyMatematyk]

Dowolny czworościan, bryła o czterech ścianach. Cztery wysokości wyrażone liczbami rzeczywistymi.

[Dasio11]

Sprecyzuj pytanie, bo mówiąc krótko "czworościan" mamy na myśli "czworościan foremny".

Niby kto ma? Czworościan to czworościan.

[szachimat]

Sprecyzuj pytanie, bo mówiąc krótko "czworościan" mamy na myśli "czworościan foremny".

Niby kto ma? Czworościan to czworościan.

Odpowiedz na pytanie, a nie czepiasz się ludzi, którzy chcą pomóc (dla ciebie czworościan to czworościan, a sześcian to sześcian). A jak ja bym się miał czepiać, to czworościan to osoba, że odpowiada na pytanie "kto"?

[Hydra147]

Nie wiem czy to warunek dostateczny ale na pewno koniecznym jest, by suma odwrotności trzech spośród tych wysokości była większa od odwrotności czwartej.

[SzalonyMatematyk]

Dlaczego?

[Ponewor]

Sprecyzuj pytanie, bo mówiąc krótko "czworościan" mamy na myśli "czworościan foremny".

Niby kto ma? Czworościan to czworościan.

Odpowiedz na pytanie, a nie czepiasz się ludzi, którzy chcą pomóc (dla ciebie czworościan to czworościan, a sześcian to sześcian). A jak ja bym się miał czepiać, to czworościan to osoba, że odpowiada na pytanie "kto"?

Z pierwszym razem napisałeś kompletną brednię. Czworościan jest w matematyce ściśle zdefiniowany i nie, nie jest tym samym co czworościan foremny. Natomiast za drugim razem napisałeś coś co bardzo trudno uznać za poprawne zdanie w języku polskim.

[Dasio11]

Odpowiedz na pytanie, a nie czepiasz się ludzi, którzy chcą pomóc

Czepiam się, bo używając nieistniejącej konwencji starasz się poprawić bezbłędną treść zadania. Nikt poza tobą nie uważa, że czworościan i czworościan foremny to synonimy.
I najważniejsze - czepiam się wypowiedzi, a nie ludzi.


Wygląda na to że Hydra147 ma rację - czworościan o wysokościach \(\displaystyle{ \ell_1, \ell_2, \ell_3, \ell_4 > 0}\) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy suma odwrotności każdych trzech z tych liczb jest większa od odwrotności czwartej, tj.

\(\displaystyle{ \frac{1}{\ell_1} < \frac{1}{\ell_2} + \frac{1}{\ell_3} + \frac{1}{\ell_4} \\[1ex]
\frac{1}{\ell_2} < \frac{1}{\ell_1} + \frac{1}{\ell_3} + \frac{1}{\ell_4} \\[1ex]
\frac{1}{\ell_3} < \frac{1}{\ell_1} + \frac{1}{\ell_2} + \frac{1}{\ell_4} \\[1ex]
\frac{1}{\ell_4} < \frac{1}{\ell_1} + \frac{1}{\ell_2} + \frac{1}{\ell_3} \\[1ex]}\)


\(\displaystyle{ (\implies)}\)
Załóżmy, że istnieje czworościan \(\displaystyle{ T}\) o takich wysokościach \(\displaystyle{ h_1, h_2, h_3, h_4,}\) że \(\displaystyle{ |h_i| = \ell_i.}\) Udowodnimy pierwszą z tych nierówności, bo resztę można udowodnić tak samo.
Niech \(\displaystyle{ P_i}\) dla \(\displaystyle{ i = 1, 2, 3, 4}\) oznacza podstawę, na którą opuszczona jest wysokość \(\displaystyle{ h_i.}\) Wtedy

\(\displaystyle{ |T| = \frac{1}{3} |P_i| \cdot |h_i|,}\) czyli \(\displaystyle{ |P_i| = \frac{3|T|}{|h_i|}.}\)

Zauważmy, że rzuty ścian \(\displaystyle{ P_2, P_3, P_4}\) na płaszczyznę ściany \(\displaystyle{ P_1}\) przykrywają ścianę \(\displaystyle{ P_1,}\) więc suma pól tych rzutów jest nie mniejsza od \(\displaystyle{ |P_1|.}\) Ale rzut każdej ściany ma mniejsze pole niż ona sama, a zatem

\(\displaystyle{ |P_1| < |P_2| + |P_3| + |P_4|}\)

tj.

\(\displaystyle{ 3 |T| \cdot \frac{1}{|h_1|} < 3 |T| \cdot \left( \frac{1}{|h_2|} + \frac{1}{|h_2|} + \frac{1}{|h_2|} \right)}\)

i wystarczy podzielić stronami przez \(\displaystyle{ 3|T|.}\)


W drugą stronę jest chyba trudniej.

[SzalonyMatematyk]

Dziękuję.