problem z wielościanami

[Zyryx]

Witam,

mam trochę problemów z zadaniami z wielościanów. Z góry dziękuje za jakąkolwiek pomoc .

1.
Podstawią graniastosłupa prostego jest romb o boku długości a i kącie ostrym o mierze Alfa. Krótsza przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt o mierze Beta. Oblicz objętość graniastosłupa.
2.
Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o obwodzie 18cm. Przekątne graniastosłupa mają długość 9cm i pierwiastek z 33cm, a krawędź boczna ma długość 4cm. Oblicz objętość graniastosłupa.
3.
Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 3cm, a jego pole powierzchni bocznej 27cm2. Oblicz objętość graniastosłupa.
4.
Oblicz objętość graniastosłupa trójkątnego prawidłowego, którego długośc wysokości jest równa h, jeżeli wiesz, że promień okręgu opisanego na podstawie graniastosłupa jest równy R.
5.
Przekątne sąsiednich ścian poprowadzone z jednego wierzchołka graniastosłupa prawidłowego trójkątnego tworzą kąt o mierze 2Alfa. Oblicz objętość graniastosłupa, jeżeli wiesz, że długość krawędzi jego podstawy jest równa a.

[thorominth]

Zadania są proste więc podam tylko wyniki do kilku:
1. \(\displaystyle{ V=2*sin\alpha*sin\frac{\alpha}{2}*tg\beta*a^{3}}\)
3. \(\displaystyle{ V=\frac{27\sqrt{3}}{4}}\)
4. \(\displaystyle{ V=\frac{3}{4}R^{2}\sqrt{3}}\)
5. \(\displaystyle{ V=\frac{a^{3}\sqrt{3}*sin\alpha}{8}}\)

Mogłem przypadkowo w którymś liczyć dla ostrosłupa, ale mam nadzieję że nie.
Pozdrawiam!

[JHN]

2.Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o obwodzie 18cm. Przekątne graniastosłupa mają długość 9cm i pierwiastek z 33cm, a krawędź boczna ma długość 4cm. Oblicz objętość graniastosłupa.

1. Ponieważ podana jest krawędź boczna graniastosłupa prostego, to \(\displaystyle{ H=4}\)
2. Dwukrotnie z tw. Pitagorasa: przekątne podstawy mają długości \(\displaystyle{ p=\sqrt{65}}\) i \(\displaystyle{ q=\sqrt{17}}\)
2. Niech dłuższa krawędź podstawy ma długość \(\displaystyle{ a}\) oraz kąt ostry równoległoboku podstawy ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\)
3. Krótsza krawędź podstawy ma zatem długość \(\displaystyle{ b=9-a}\)
4. Przekątne podstawy odcinają trójkąty, dla których z tw. Carnota (wzór cosinusów) mamy:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{}\left\(\sqrt{17}\right\)^2=a^2+(9-a)^2-2\cdot a(9-a)\cos{\alpha}\\\left\(\sqrt{65}\right\)^2=a^2+(9-a)^2-2\cdot a(9-a)\cos({180^0 -\alpha})\end{array}}\)
Rozwiązaniem układu (spełniającym warunki) jest \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{}a=5\\\cos{\alpha}={3\over 5}\end{array}}\)
Stąd mamy \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{}a=5\\b=4\\\sin{\alpha}={4\over 5}\end{array}}\)
5. \(\displaystyle{ P_{p}=5\cdot 4\cdot {4\over 5}=16}\) i \(\displaystyle{ V_{g}=64}\)
Pozdrawiam
PS. Zapis w \(\displaystyle{ LaTeX}\)-u jest czytelniejszy!