Maksymalna objętość prostopadłościanu
-
ZaxHunter
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 22 sty 2013, o 21:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 34 razy
- Pomógł: 12 razy
Maksymalna objętość prostopadłościanu
Znamy sumę długości krawędzi prostopadłościanu i poszukujemy prostopadłościanu o największej objętości. Oczywiście będzie to sześcian. Ale jak to udowodnić?
-
patryk00714
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 18 wrz 2012, o 13:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 13 razy
Maksymalna objętość prostopadłościanu
\(\displaystyle{ 4a+4b+4c=4K}\), gdzie a,b,c - krawędzie prostopadłościanu (\(\displaystyle{ a,b,c \neq 0}\)), \(\displaystyle{ K \in \mathbb{N}}\)
wówczas: \(\displaystyle{ a+b+c=K \Rightarrow c=K-a-b}\)
\(\displaystyle{ V(a,b)=ab(K-a-b)=Kab-a^2b-ab^2}\)
mamy teraz \(\displaystyle{ \frac{ \partial V}{ \partial a}=Kb-2ab-b^2 \quad \frac{ \partial V}{ \partial b}=Ka-a^2-2ab}\)
rozwiązujemy układ: \(\displaystyle{ \begin{cases}Kb-2ab-b^2 =0 \\ Ka-a^2-2ab=0 \end{cases}}\)
stąd mamy \(\displaystyle{ a=b=\frac{K}{3}}\), rozwiazania z zerami natychmiastowo odrzucam.
wystarczy pokazać, że w punkcie: \(\displaystyle{ (\frac{K}{3},\frac{K}{3})}\) funkcja \(\displaystyle{ V(a,b)=ab(K-a-b)}\) osiąga maximum.
wówczas: \(\displaystyle{ a+b+c=K \Rightarrow c=K-a-b}\)
\(\displaystyle{ V(a,b)=ab(K-a-b)=Kab-a^2b-ab^2}\)
mamy teraz \(\displaystyle{ \frac{ \partial V}{ \partial a}=Kb-2ab-b^2 \quad \frac{ \partial V}{ \partial b}=Ka-a^2-2ab}\)
rozwiązujemy układ: \(\displaystyle{ \begin{cases}Kb-2ab-b^2 =0 \\ Ka-a^2-2ab=0 \end{cases}}\)
stąd mamy \(\displaystyle{ a=b=\frac{K}{3}}\), rozwiazania z zerami natychmiastowo odrzucam.
wystarczy pokazać, że w punkcie: \(\displaystyle{ (\frac{K}{3},\frac{K}{3})}\) funkcja \(\displaystyle{ V(a,b)=ab(K-a-b)}\) osiąga maximum.