walec wpisany w stożek zad optymalizacyjne

[pknagato2]

Wyznacz długość promienia podstawy i wysokości walca wpisanego w stożek o danym promieniu podstawy R, którego długość wysokości jest równa H tak, aby objętość walca była największa.



\(\displaystyle{ V_{walca} = \pi \cdot r^{2} \cdot h}\)
DANE: H i R.
Korzystając z podobieństwa trójkątów (oznaczając punkt na boku AC jako F)
trójkąt ABC \(\displaystyle{ \approx ADF \approx FEC}\) wynika stąd fakt, że:
\(\displaystyle{ \frac{H}{R} = \frac{H-h}{r} \Rightarrow r= \frac{R(H-h)}{H}}\)
podstawiając r pod wzór na objętość walca
\(\displaystyle{ V_{walca} = \pi \cdot ( \frac{R(H-h)}{H} )^{2} \cdot h \Rightarrow \pi \cdot \frac{R ^{2} \cdot (H-h)^{2} \cdot h }{ H^{2} } \Rightarrow \pi \cdot \frac{R ^{2} \cdot ( H^{2} -2Hh + h ^{2} ) \cdot h }{ H^{2} } \Rightarrow \pi \cdot \frac{R ^{2} \cdot ( H^{2}h -2Hh^{2} + h ^{3} ) }{ H^{2} } \Rightarrow \frac{ \pi R ^{2} }{H ^{2} } \cdot (H^{2}h -2Hh^{2} + h ^{3})}\)
\(\displaystyle{ f(h)=H^{2}h -2Hh^{2} + h ^{3}}\)
\(\displaystyle{ f'(h)=H ^{2}-4Hh+3h ^{2}}\)
Jeżeli wszystko do tej pory jest dobrze i kierunek rozumowania jest prawidłowy:
\(\displaystyle{ \Delta = 16 H^{2}-12H}\)
co dalej z tym zrobić ?

P.S. Rozwiązałem to zadanie podstawiając h do wzoru na V walca ale ciekawi mnie rozwiązanie z "drugiej" strony.

[Dilectus]

\(\displaystyle{ /Delta = 16 H^{2}-12H}\)

Tu się rąbnąłeś, bo

\(\displaystyle{ \Delta=16H^2-12H^2=4H^2}\)

A poza tym

\(\displaystyle{ V_{walca} = \frac{ \pi R ^{2} }{H ^{2} } \cdot (H^{2}h -2Hh^{2} + h ^{3})}\)

\(\displaystyle{ f'(h)=\frac{ \pi R ^{2} }{H ^{2} }\left( H ^{2}-4Hh+3h ^{2}\right)}\)

\(\displaystyle{ f'(h)=0 \ \Leftrightarrow \ h= \frac{4H \mp 2H}{6} \quad h= \frac{1}{3}H \ \vee h=H}\)

Dla \(\displaystyle{ h=\frac{1}{3}H}\) jest maksimum, bo pochodna w tym punkcie zmienia znak z dodatniego na ujemny.

Policzmy tę maksymalną objętość

\(\displaystyle{ V_{max}= \frac{ \pi R ^{2} }{H ^{2} } \cdot \left( H^{2} \cdot \frac{1}{3}H -2H\left( \frac{1}{3}H\right) ^{2} + \left( \frac{1}{3}H\right) ^{3}\right)= \frac{4}{27}\pi R^2 H = \frac{4}{9}V_{\text {stożka}}}\)

[pknagato2]

Prawda nie zauważyłem tego wcześniej. Dzięki bardzo za pomoc.