Obrót trójkąta prostokątnego

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
pknagato2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 7 lut 2013, o 16:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gostyń
Podziękował: 8 razy

Obrót trójkąta prostokątnego

Post autor: pknagato2 »

trójkąt prostokątny obraca się dookoła przeciwprostokątnej równej c. Jakie powinny być przyprostokątne tego trójkąta aby objętość powstałej bryły była największa?

Zrobiłem rysunek:


\(\displaystyle{ V_{g}}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \pi h^{2} \cdot W}\)
\(\displaystyle{ V_{d}}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \pi h^{2} \cdot E}\)
\(\displaystyle{ V_{c}}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \pi h^{2} \cdot C}\)

Wiem, że
\(\displaystyle{ a^{2}+ b^{2}= c ^{2}}\)
oraz \(\displaystyle{ a \cdot b = c \cdot h \Rightarrow \frac{a \cdot b}{c}=h}\)
co po podstawieniu do wzoru na objętość daje
\(\displaystyle{ V_{c}}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \pi \frac{ a^{2} \cdot b^{2} }{c}}\)
Dobrze zacząłem to zadanie ? Jak ew. wyliczyć długości tych przyprostokątnych ?
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1565
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 243 razy

Obrót trójkąta prostokątnego

Post autor: Gouranga »

możemy skorzystać z wzoru na objętość bryły obrotowej:
\(\displaystyle{ V = \pi \int_a^b \left(f(x)\right)^2 dx}\)
nie zagłębiając się w szczegóły wynika stąd, że objętość jest wprost proporcjonalna do obszaru, którym obracamy
tu naszym obszarem jest ten trójkąt, to uprasza zadanie do znalezienia największego trójkąta prostokątnego, co można zrobić np. używając tw. o kątach wpisanych w okrąg (wyjdzie trójkąt \(\displaystyle{ 90,45,45}\))
pknagato2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 7 lut 2013, o 16:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gostyń
Podziękował: 8 razy

Obrót trójkąta prostokątnego

Post autor: pknagato2 »

Dało by się jakoś to przedstawić metodą licealną?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Obrót trójkąta prostokątnego

Post autor: piasek101 »

Wstaw zamiast \(\displaystyle{ a^2}\) wyliczone z Pitagorasa.
jarek4700
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 939
Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mazowsze
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 228 razy

Obrót trójkąta prostokątnego

Post autor: jarek4700 »

Ogólnie powstaną dwa "zlepione" stożki. Od razu trzeba wszystko wyrazić przez \(\displaystyle{ a}\) żeby potem zminimalizować \(\displaystyle{ V(a)}\)

\(\displaystyle{ b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}\\
\\
hc = ab => h = \frac{a\sqrt{c^{2} - a^{2}}}{c}\\
\\
\frac{h}{w} = \frac{b}{a} => w = \frac{ha}{b} = \frac{a^{2}}{c}\\
\\
\frac{h}{e} = \frac{a}{b} => e = \frac{bh}{a} = \frac{ch^{2}}{a^{2}} = \frac{c^{2}-a^{2}}{c}}\)


Masz już \(\displaystyle{ h,w,e}\) więc możesz policzyć objętości obu stożków i dodać. Przyda się podstawienie \(\displaystyle{ a^{2} = t}\). Trzeba znaleźć wierzchołek paraboli...
pknagato2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 7 lut 2013, o 16:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gostyń
Podziękował: 8 razy

Obrót trójkąta prostokątnego

Post autor: pknagato2 »

Zrobiłem jak radził Piasek. Obliczyłem pochodną i wszystko ładnie wyszło. Dzięki bardzo za pomoc.
ODPOWIEDZ