trójkąt prostokątny obraca się dookoła przeciwprostokątnej równej c. Jakie powinny być przyprostokątne tego trójkąta aby objętość powstałej bryły była największa?
Zrobiłem rysunek:
\(\displaystyle{ V_{g}}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \pi h^{2} \cdot W}\)
\(\displaystyle{ V_{d}}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \pi h^{2} \cdot E}\)
\(\displaystyle{ V_{c}}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \pi h^{2} \cdot C}\)
Wiem, że
\(\displaystyle{ a^{2}+ b^{2}= c ^{2}}\)
oraz \(\displaystyle{ a \cdot b = c \cdot h \Rightarrow \frac{a \cdot b}{c}=h}\)
co po podstawieniu do wzoru na objętość daje
\(\displaystyle{ V_{c}}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \pi \frac{ a^{2} \cdot b^{2} }{c}}\)
Dobrze zacząłem to zadanie ? Jak ew. wyliczyć długości tych przyprostokątnych ?
Obrót trójkąta prostokątnego
-
- Użytkownik
- Posty: 1592
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 246 razy
Obrót trójkąta prostokątnego
możemy skorzystać z wzoru na objętość bryły obrotowej:
\(\displaystyle{ V = \pi \int_a^b \left(f(x)\right)^2 dx}\)
nie zagłębiając się w szczegóły wynika stąd, że objętość jest wprost proporcjonalna do obszaru, którym obracamy
tu naszym obszarem jest ten trójkąt, to uprasza zadanie do znalezienia największego trójkąta prostokątnego, co można zrobić np. używając tw. o kątach wpisanych w okrąg (wyjdzie trójkąt \(\displaystyle{ 90,45,45}\))
\(\displaystyle{ V = \pi \int_a^b \left(f(x)\right)^2 dx}\)
nie zagłębiając się w szczegóły wynika stąd, że objętość jest wprost proporcjonalna do obszaru, którym obracamy
tu naszym obszarem jest ten trójkąt, to uprasza zadanie do znalezienia największego trójkąta prostokątnego, co można zrobić np. używając tw. o kątach wpisanych w okrąg (wyjdzie trójkąt \(\displaystyle{ 90,45,45}\))
-
- Użytkownik
- Posty: 939
- Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 228 razy
Obrót trójkąta prostokątnego
Ogólnie powstaną dwa "zlepione" stożki. Od razu trzeba wszystko wyrazić przez \(\displaystyle{ a}\) żeby potem zminimalizować \(\displaystyle{ V(a)}\)
\(\displaystyle{ b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}\\
\\
hc = ab => h = \frac{a\sqrt{c^{2} - a^{2}}}{c}\\
\\
\frac{h}{w} = \frac{b}{a} => w = \frac{ha}{b} = \frac{a^{2}}{c}\\
\\
\frac{h}{e} = \frac{a}{b} => e = \frac{bh}{a} = \frac{ch^{2}}{a^{2}} = \frac{c^{2}-a^{2}}{c}}\)
Masz już \(\displaystyle{ h,w,e}\) więc możesz policzyć objętości obu stożków i dodać. Przyda się podstawienie \(\displaystyle{ a^{2} = t}\). Trzeba znaleźć wierzchołek paraboli...
\(\displaystyle{ b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}\\
\\
hc = ab => h = \frac{a\sqrt{c^{2} - a^{2}}}{c}\\
\\
\frac{h}{w} = \frac{b}{a} => w = \frac{ha}{b} = \frac{a^{2}}{c}\\
\\
\frac{h}{e} = \frac{a}{b} => e = \frac{bh}{a} = \frac{ch^{2}}{a^{2}} = \frac{c^{2}-a^{2}}{c}}\)
Masz już \(\displaystyle{ h,w,e}\) więc możesz policzyć objętości obu stożków i dodać. Przyda się podstawienie \(\displaystyle{ a^{2} = t}\). Trzeba znaleźć wierzchołek paraboli...
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 7 lut 2013, o 16:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gostyń
- Podziękował: 8 razy
Obrót trójkąta prostokątnego
Zrobiłem jak radził Piasek. Obliczyłem pochodną i wszystko ładnie wyszło. Dzięki bardzo za pomoc.