Ostrosłup prawidłowy czworokątny

[macikiw2]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt miedzy dwiema przeciwległymi krawędziami bocznymi ma miarę \(\displaystyle{ 2 \alpha , \alpha\in\left(0^0,45^0\right)}\) . Odległość wierzchołka podstawy ostrosłupa od przeciwległej krawędzi bocznej jest równa \(\displaystyle{ d}\) . Oblicz objętość ostrosłupa.


Ten kąt to kąt przy wierzchołka ostrosłupa między dwoma krawędziami, tak ?
A ta odległość wierzchołka od przeciwległej krawędzi to będzie długość z krawędzi podstawy i będzie opadać na przeciwległą krawędź boczną pod kątem prostym ?

Jak to wszystko uzależnić od \(\displaystyle{ d}\) i podanego kąta ?

[Konradek]

Zrób porządny rysunek: oznaczam przez \(\displaystyle{ r}\) krawędź boczną ostrosłupa i przez \(\displaystyle{ a}\) krawędź podstawy.
Dzięki tym relacjom, które wymieniłeś można narysować trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości \(\displaystyle{ r}\) oraz jednej z przyprostokątnych długości \(\displaystyle{ d}\), naprzeciwko której znajduje się kąt o mierze \(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Stąd wyznaczam \(\displaystyle{ r}\).
Następnie rysuję przekrój wzdłuż przekątnej podstawy i krawędzi bocznych ostrosłupa. Powstanie trójkąt, przy pomocy którego można wyliczyć \(\displaystyle{ a}\). Jeszcze tylko wysokość ostrosłupa.

[macikiw2]

Nie widzę tego trójkąta. \(\displaystyle{ d}\) opada na bok \(\displaystyle{ r}\) pod kątem prostym. Więc jak \(\displaystyle{ d}\) może być przyprostokątną a \(\displaystyle{ r}\) przeciwprostokątną ? Czy źle zrozumiałem i to nie jest ta długość ?

[Konradek]

Interesuje nas przekrój przez dwie przeciwległe krawędzie boczne oraz przekątną podstawy. Według podanych przeze mnie oznaczeń będzie to trójkąt równoramienny o bokach \(\displaystyle{ r}\), \(\displaystyle{ r}\), \(\displaystyle{ a}\) oraz kącie \(\displaystyle{ 2 \alpha}\) między ramionami tego trójkąta. Gdy już taki zlokalizujesz to zauważysz, że odległość wierzchołka od przeciwległej ściany jest równa wysokości tego trójkąta poprowadzonej z kąta przy podstawie.
PS: Ten trzeci bok trójkąta możesz sobie od razu dla ułatwienia oznaczyć przez \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\) i wówczas \(\displaystyle{ a}\) będzie oznaczać bok kwadratu będącego podstawą.

[macikiw2]

Dzięki wyszło. Mam jeszcze takie zadanie :

Mamy ostrosłup, jego podstawą jest trójkąt równoboczny. Krawędź boczna ma długość \(\displaystyle{ b}\). Kąt dwuścienny pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Obliczyć trzeba objętość.

[bakala12]

Zastanów się gdzie dokładnie jest ten kąt dwuścienny.