Klosz na Tort

[brunosław]

Tort jest zbudowany z trzech walców. Największy z walców ma średnicę 46, mniejszy walec leżący na nim ma średnicę 36, a najmniejszy walec leżący na samej górze ma średnicę 10. Wysokość każdego z tych walców jest równa 10. Na tort ten nałożono klosz, taki jak na rysunku. Oblicz promień tego klosza.

AU

tort.jpg (9.69 KiB) Przejrzano 69 razy

[Justka]

NIe jestem pewna ale spróbuje

AU

dbc62c998feb1c7bm.jpg (2.16 KiB) Przejrzano 69 razy

[/url]
Szukany promień będzie wynosił:
\(\displaystyle{ R=23+x}\)
Skorzystam z twierdzenia pitagorasa:
\(\displaystyle{ (10+10)^2+(z+x)^2=(a+b)^2}\)
Wyliczamy co sie da:
\(\displaystyle{ z=23-18=5\\
a=\sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}\\
b=\sqrt{10^2+x^2}=\sqrt{100+x^2}}\)
I podstawiamy do pierwszego równania
\(\displaystyle{ 20^2+(5+x)^2=(5\sqrt{5}+\sqrt{100+x^2})^2\\
400+25+10x+x^2=125+10\sqrt{5(100+x^2)}+100+x^2}\)
Po wyliczeniu wychodzi:
\(\displaystyle{ -4x^2+40x-100=0\\
\Delta=0}\)
I ostatecznie
\(\displaystyle{ x=5}\)
A więc promień klosza wynosi:
\(\displaystyle{ R=23+5=28}\)

[Fanik]

Rozwiązanie to nie jest poprawne, gdyż klosz ten nie będzie się stykał ze wszystkimi wierzchołkami tortu - aby to udowodnić można np obliczyć tangensy zaznaczonych niżej kątów:

tgα=10/13
tgβ=10/5=2

Wniosek: kąty α i β są różne, co jest sprzeczne.

Poprawne rozwiązanie powinno uwzględnić to i wobec tego, klosz ten będzie nachylony do poziomu pod mniejszym z kątów α i β, a więc pod kątem α (gdyby było odwrotnie, tort by spoza klosza wystawał).

Poprawny rysunek wyglądać powinien tak:


Najpierw obliczmy x:
Z def tangensa dla kąta w górnym małym trójkącie mamy:
\(\displaystyle{ \tan{\alfa}=\frac{x}{5}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{x}{5} = \frac{10}{13}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{2}{13}}\)

Następnie z def. tangensa dla trójkąta ACB mamy
\(\displaystyle{ \tan{\alfa}=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{10+10+10+2/13}{R}}\)

czyli
\(\displaystyle{ \frac{30+2/13}{R}=\frac{10}{13}}\)

\(\displaystyle{ R=\frac{30 13+2}{10}=39,2}\)