Trójkąt prostokątny obracano wokół dłuższej przypro

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
adziodamage
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 26 lut 2007, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Atlantyda
Podziękował: 2 razy

Trójkąt prostokątny obracano wokół dłuższej przypro

Post autor: adziodamage »

Trójkąt prostokątny obraca się wokół dłuższej przyprostokątnej. Wiedząc że pole powierzchni całkowitej powstałego stożka jest \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\)\(\displaystyle{ \pi}\) razy większa od pola trójkąta. Wyznacz miary kątów tego trójkąta.

Bardzo dziękuje za ewentualną pomoc
Ostatnio zmieniony 7 cze 2007, o 18:52 przez adziodamage, łącznie zmieniany 1 raz.
Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

Trójkąt prostokątny obracano wokół dłuższej przypro

Post autor: Grzegorz t »

Witam na forum
przyjmijmy sobie oznaczenia
\(\displaystyle{ a}\)-dłuższa przyprostokątna trókąta,
\(\displaystyle{ b}\)-krótsza przyprostokątna,
\(\displaystyle{ c}\)-przeciwprostokątna, i założenie, że \(\displaystyle{ \alpha\in[0, \frac{\pi}{2}]}\)
Z warunków zadania mamy \(\displaystyle{ \pi\cdot b(b+c)=2\sqrt{3}\pi\cdot \frac{1}{2}ab}\),po podzieleniu obu stron przez \(\displaystyle{ \pi b}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ b+c=\sqrt{3}a}\) i po podzieleiu obu stron przez \(\displaystyle{ c}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{b}{c}+1=\sqrt{3}\cdot \frac{a}{c}}\), ale \(\displaystyle{ \frac{b}{c}=\cos\alpha}\), i również \(\displaystyle{ \frac{a}{c}=\sin\alpha}\) zatem mamy \(\displaystyle{ \cos\alpha+1=\sqrt{3}\cdot \sin\alpha}\), skąd po rozwiązaniu otrzymujemy \(\displaystyle{ \alpha =30^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \beta=60^{\circ}}\)
pozdrawiam
sin2x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 11 wrz 2008, o 21:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mazowsze
Podziękował: 42 razy

Trójkąt prostokątny obracano wokół dłuższej przypro

Post autor: sin2x »

Witam
Jak rozwiązać powyższe równanie trygonometryczne? Mi nie wychodzi poprawny wynik
Proszę o pomoc
Pozdrawiam
damianexson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 28 sty 2010, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gdziestam
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Trójkąt prostokątny obracano wokół dłuższej przypro

Post autor: damianexson »

Sorry za odkop ale mam to samo pytanie co kolega wyżej, które niestety zostało przemilczane
unknown1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 3 mar 2014, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce

Trójkąt prostokątny obracano wokół dłuższej przypro

Post autor: unknown1 »

Ja bym to równanie trygonometryczne rozwiązał korzystając z jedynki trygonometrycznej, czyli:
\(\displaystyle{ \cos \alpha +1= \sqrt{3} \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha+2 \cos \alpha+1= 3 \sin ^{2} \alpha}\)
\(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha+2 \cos \alpha+1= 3-3\cos ^{2} \alpha}\)
\(\displaystyle{ 2 \cos ^{2} \alpha+\cos \alpha-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=9}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha _{1}= \frac{-1-3}{4}=-1 \Rightarrow \cos \alpha _{1}}\) nie należy do dziedziny
\(\displaystyle{ \cos \alpha _{2}= \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha =60 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ \beta = 30 ^{o}}\)
Ostatnio zmieniony 20 mar 2014, o 09:28 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
ODPOWIEDZ