W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt płaski przy wierzchołku ma miarę 60 stopni, a krawędź boczna ma długość 6. Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz miarę katą zawartego między jego przeciwległymi krawędziami bocznymi.
Więc tak, objętość wyszła mi \(\displaystyle{ 108\left[j ^{2} \right]}\)
Mógłby ktoś sprawdzić, czy to prawidłowa odpowiedź?
Kolejne pytanie wiąże się z miarą kąta, jak go obliczyć?
Miara kąta oraz objętość
-
Dilectus
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Miara kąta oraz objętość
Z warunków zadania wynika, że przekrojem ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki i środki przeciwległych krawędzi podstawy jest trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ a}\) równym długości krawędzi podstawy.
Wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ h}\) jest więc równa
\(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek i przeciwległe krawędzie boczne jest trójkątem równoramiennym o podstawie równej długości przekątnej podstawy prostokąta i wysokości \(\displaystyle{ h}\). Długość jego boków jest równa 6. Zatem z tw. Pitagorasa mamy
\(\displaystyle{ \left( a \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+ h^2=6 ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a^2+ \frac{3}{4}a^2=36 \ \Rightarrow \ a= \sqrt{ \frac{4}{5}\cdot 36 }=12 \cdot \frac{ \sqrt{5} }{5}}\)
\(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{2}=12 \cdot \frac{ \sqrt{5} }{5} \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}= \frac{6}{5} \sqrt{3} \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3} \cdot \frac{4\cdot 36}{5} \cdot \frac{6}{5} \sqrt{3} \sqrt{5}= \frac{8\cdot 36}{25} \sqrt{3} \sqrt{5}}\)
Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) nachylenia krawędzi bocznej do podstawy wyznaczymy z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2}}{\sin \alpha}= \frac{6}{\sin \left( 180-2\alpha\right) }}\)
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2}}{\sin \alpha}=\frac{6}{\sin 2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2}}{\sin \alpha}=\frac{6}{2\sin \alpha \cos \alpha}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{3}{a \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{10} }{8}}\)
Mam nadzieję, że się nigdzie nie rąbnąłem...
Wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ h}\) jest więc równa
\(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek i przeciwległe krawędzie boczne jest trójkątem równoramiennym o podstawie równej długości przekątnej podstawy prostokąta i wysokości \(\displaystyle{ h}\). Długość jego boków jest równa 6. Zatem z tw. Pitagorasa mamy
\(\displaystyle{ \left( a \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+ h^2=6 ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a^2+ \frac{3}{4}a^2=36 \ \Rightarrow \ a= \sqrt{ \frac{4}{5}\cdot 36 }=12 \cdot \frac{ \sqrt{5} }{5}}\)
\(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{2}=12 \cdot \frac{ \sqrt{5} }{5} \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}= \frac{6}{5} \sqrt{3} \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3} \cdot \frac{4\cdot 36}{5} \cdot \frac{6}{5} \sqrt{3} \sqrt{5}= \frac{8\cdot 36}{25} \sqrt{3} \sqrt{5}}\)
Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) nachylenia krawędzi bocznej do podstawy wyznaczymy z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2}}{\sin \alpha}= \frac{6}{\sin \left( 180-2\alpha\right) }}\)
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2}}{\sin \alpha}=\frac{6}{\sin 2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2}}{\sin \alpha}=\frac{6}{2\sin \alpha \cos \alpha}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{3}{a \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{10} }{8}}\)
Mam nadzieję, że się nigdzie nie rąbnąłem...
-
florek177
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
Miara kąta oraz objętość
skoro kąt płaski przy wierzchołku ma miarę \(\displaystyle{ \,\, \alpha = 60^{o} \,\,}\) , to ściana boczna ostrosłupa jest trójkątem równobocznym.
Połowę szukanego kąta znajdziesz z sinusa ( połowa przekątnej podstawy i krawędź boczna )
Połowę szukanego kąta znajdziesz z sinusa ( połowa przekątnej podstawy i krawędź boczna )