Objętość ostrosłupa

[dejv96]

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna ma długośc \(\displaystyle{ 6cm}\), a kąt ostry wynosi \(\displaystyle{ 30 stopni}\). Krawędzie boczne tego ostrosłupa nachylone są do podstawy pod kątem 60 stopni. Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu tego zadania. Z polem podstawy już sobie poradziłem

[florek177]

krawędzie ostrosłupa należą do tworzącej stożka opisanym na tym ostrosłupie.

[Dilectus]

Z treści zadania wynika, że długość boków podstawy \(\displaystyle{ ABC}\), gdzie \(\displaystyle{ \angle CAB=90 ^{o}}\):

\(\displaystyle{ \left| BC\right|=6}\)

\(\displaystyle{ \left| AB\right|=3}\)

\(\displaystyle{ \left| AC\right|=3 \sqrt{3}}\)

Spodek wysokości tego ostrosłupa będzie leżał na przecięciu dwusiecznych kątów podstawy \(\displaystyle{ ABC}\) (dlaczego?), a więc w środku okręgu wpisanego w podstawę. Promień tego okręgu \(\displaystyle{ r}\) posłuży nam do obliczenia wysokości ostrosłupa \(\displaystyle{ h}\) Policzmy go więc:

\(\displaystyle{ r= \frac{2P}{a+b+c}}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\) - pole podstawy \(\displaystyle{ a, \ b, \c}\) - długości boków podstawy

\(\displaystyle{ P= \frac{3 \sqrt{3}\cdot 3 }{2}= \frac{9 \sqrt{3} }{2}}\)

Zatem

\(\displaystyle{ r= \frac{\frac{9 \sqrt{3} }{2}}{3 \sqrt{3}+3+6 }= \frac{3\left( \sqrt{3}-1 \right) }{4}}\)

Ponieważ kąt nachylenia ścian bocznych do podstawy jest równy \(\displaystyle{ \alpha = 60 ^{o}}\)

to

\(\displaystyle{ \frac{h}{r}=\tg \alpha = \sqrt{3}}\)

skąd

\(\displaystyle{ h=r \sqrt{3}= \frac{3\left( \sqrt{3}-1 \right) }{4} \sqrt{3}}\)

Objętość tego ostrosłupa będzie więc równa

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} Ph= \frac{1}{3}\cdot \frac{9 \sqrt{3} }{2} \cdot \frac{3\left( \sqrt{3}-1 \right) }{4}= \frac{9}{8} \sqrt{3}\left( \sqrt{3}-1 \right)}\)

[florek177]

"Spodek wysokości tego ostrosłupa będzie leżał na przecięciu dwusiecznych kątów podstawy \(\displaystyle{ ABC}\) (dlaczego?), a więc w środku okręgu wpisanego w podstawę."

Dlaczego?

"Ponieważ kąt nachylenia ścian bocznych do podstawy jest równy \(\displaystyle{ \alpha = 60 ^{o}}\)"

Nie ścian bocznych tylko krawędzi.

[Dilectus]

"Ponieważ kąt nachylenia ścian bocznych do podstawy jest równy \(\displaystyle{ \alpha = 60 ^{o}}\)"

Nie ścian bocznych tylko krawędzi.

Masz rację. Muszę to rozwiązać ponownie. A Ciebie, dejv96, przepraszam za zamieszanie... -- 12 sty 2015, o 13:13 --Skoro krawędzie ostrosłupa nachylone są do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha = 60 ^{o}}\), to znaczy, że spodek wysokości ostrosłupa leży w połowie przeciwprostokątnej podstawy, a więc w środku okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym (dlaczego?). Promień tego okręgu jest więc równy \(\displaystyle{ R=3}\) Wysokość ostrosłupa jest:

\(\displaystyle{ h=R\tg \alpha=3 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{3 \sqrt{3}\cdot 3 }{2}= \frac{9 \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} Ph= \frac{1}{3}\cdot \frac{9 \sqrt{3} }{2}\cdot 3 \sqrt{3}= \frac{27}{2}}\)

Miałeś rację,florek177 - krawędzie ostrosłupa należą do tworzącej stożka opisanego na tym ostrosłupie, a jedna z jego ścian leży w płaszczyźnie symetrii tego stożka, a więc wysokość ostrosłupa jest jednocześnie wysokością ściany bocznej.