Prostopadloscian i graniastoslup prawidlowy trojkatny.......

[mart1na]

Jezeli ktos moglby mi pomoc, bylabym wdzieczna.

1. Pole podstawy prostopadloscianu wynosi 10\(\displaystyle{ cm^{2}}\), pole powierzchni calkowitej wynosi 118 \(\displaystyle{ cm^{2}}\), a przekatna glowna ma dlugosc \(\displaystyle{ \sqrt{78}}\). Oblicz wymiary prostopadloscianu.

2. Dowiesc, ze w prostopadloscianie dla katow \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) ktore przekatna prostopadloscianu tworzy z jego krawedziami, zachodzi zwiazek: \(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma=2}\).

3. W graniastoslupie prawidlowym trojkatnym - pole powierzchni bocznej rowna sie sumie pol obu podstaw. Obliczyc cosinus kata nachylenia przekatnej sciany bocznej do sasiedniej sciany bocznej.

[gaga]

1.
Długości krawędzi podstaw oznaczę przez :a,b.Wysokość tego prostopadłościanu przez H.
wówczas otrzymujesz układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} ab=10\\2aH+2bH+2ab=118\\{H}^2+{a}^2+{b}^2=78\end{array}}\)
po rozwiązaniu tego układu rónań otzrzymasz wymiary prostopadłościanu.

[mart1na]

wiem, tylko ze mi nic nie chce wyjsc ;/

[gaga]

Można ten układ rozwiązać dość sprytnie. z 1,równania podstawiasz do 2, i masz:\(\displaystyle{ 2H(a+b)+20=118}\) \(\displaystyle{ H(a+b)=49}\) w 3.równanie możesz zapisać jako:\(\displaystyle{ {H}^2+{(a+b)}^2-2ab=78}\),więc z 1,rownania \(\displaystyle{ {H}^2+{(a+b)}^2-20=78}\) a z przekształconej przed chwilą rowności masz,że \(\displaystyle{ a+b=\frac{49}{H}}\),więc ostatecznie otrzymujesz równanie dwukwadratowe:\(\displaystyle{ {H}^2+\frac{{49}^2}{{H}^2}=98}\),co już łatwo rozwiązać:)

[max]

2. Niech \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) będą miarami kątów jakie przekątna o długości \(\displaystyle{ d}\) tworzy z krawędziami o długości odpowiednio: \(\displaystyle{ a, b, c}\)
Rzutem przekątnej na ścianę będącą prostokątem o bokach długości \(\displaystyle{ a, b}\) jest przekątna tego prostokąta. Jej długość \(\displaystyle{ l_{ab}}\) otrzymujemy z tw Pitagorasa:
\(\displaystyle{ l_{ab} = \sqrt{a^{2} + b^{2}}}\).
Odcinek łączący końce przekątnej i jej rzutu jest krawędzią prostopadłościanu o długości \(\displaystyle{ c}\). Te trzy odcinki tworzą trójkąt prostokątny z którego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin \gamma = \frac{l_{ab}}{d} = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{d}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \sin^{2}\gamma = \frac{a^{2} + b^{2}}{d^{2}}}\)
analogicznie:
\(\displaystyle{ \sin^{2}\beta = \frac{a^{2} + c^{2}}{d^{2}}\\
\sin^{2}\alpha = \frac{b^{2} + c^{2}}{d^{2}}}\)
Ponadto z tw Pitagorasa:
\(\displaystyle{ d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}}\)
I ostatecznie:
\(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha+ \sin^{2}\beta + \sin^{2}\gamma = \frac{2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} = 2}\)
c.n.w.

[mart1na]

\(\displaystyle{ {H}^2+\frac{{49}^2}{{H}^2}=98}\) moze i latwo to obliczyc ale mi nic nie wychodzi.....moze ktos mi pomoze

[ariadna]

\(\displaystyle{ h^{4}+2401=98h^{2}}\)
\(\displaystyle{ h^{4}-98h^{2}+2401=0}\)
\(\displaystyle{ h^{2}=t}\)
\(\displaystyle{ t^{2}-98t+2401=0}\)
\(\displaystyle{ t=49}\)
A wiec:
\(\displaystyle{ h=7}\)

[mart1na]

boze, jaka ja jestem glupia.. ;] .....wystarczy 5 dni od szkoly i moj mozg juz nie pracuje ;p........dzieki