Walec wpisany w kulę o promieniu 4m, maksymalna objętość

[k95n]

Witam,
Jaka będzie maksymalna objętość walca wpisanego w kulę o promieniu 4m?
Trzeba skorzystać w jakiś sposób z minimum i maksimum funkcji?
Prosiłbym o wyprowadzenie wzoru.

[Gouranga]

Przekrojem osiowym tego walca będzie prostokąt o bokach \(\displaystyle{ 2r}\) i \(\displaystyle{ H}\) gdzie \(\displaystyle{ r}\) promień podstawy, \(\displaystyle{ H}\) wysokość bryły
objętość walca to \(\displaystyle{ \pi H r^2}\)
wiemy też z Pitagorasa, że
\(\displaystyle{ (2r)^2 + H^2 = 64\\
4r^2 = 64 - H^2\\
r^2 = \frac{64 - H^2}{4}}\)

wstawiamy to do wzoru na objętość i mamy:
\(\displaystyle{ V = \pi H \frac{64 - H^2}{4} = \frac{-\pi H^3 + 64\pi H^2}{4}}\)

dla uproszczenia wyciągnij sobie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) przed nawias, zbadaj dla jakiego \(\displaystyle{ H}\) funkcja \(\displaystyle{ -H^3 + 64H^2}\) ma maksimum

[k95n]

\(\displaystyle{ f(x)=-H^{3}+64H^{2}}\)
Wyciągam pochodną:
\(\displaystyle{ f(x)' = -3H^{2}+64*2H}\)
\(\displaystyle{ f(x)' = -3H^{2}+128H}\)
Obliczam z tego deltę:
\(\displaystyle{ \wedge =16384}\)

Obliczam \(\displaystyle{ H _{1} i H _{2}}\)
\(\displaystyle{ H _{1} = -256}\)
\(\displaystyle{ H _{2} = 0}\)

Funkcja większa od zera w przedziale \(\displaystyle{ (-256;0)}\)
Funkcja mniejsza od zera w przedziale \(\displaystyle{ (- \infty;-256) \cup (0;+ \infty )}\)

Dobrze to zrobiłem? Jak dalej wyznaczyć z tego maksimum?

[Gouranga]

pomijając fakt, że wszędzie powinno być \(\displaystyle{ f(H)}\) a nie \(\displaystyle{ f(x)}\) :

\(\displaystyle{ f'(H) = -3H^2 + 128H\\
f'(H) = -H(3H - 128)\\
H = 0 \vee H = \frac{128}{3}}\)

czyli skoro tam pochodna jest zerem to funkcja główna może mieć tam ekstrema

możemy policzyć drugą pochodną w punkcie:
\(\displaystyle{ f''(H) = -6H + 128\\
f''\left(\frac{128}{3}\right) = -128}\)

druga pochodna jest w tym punkcie ujemna, co oznacza, że w tym punkcie funkcja główna ma maksimum lokalne-- 15 sty 2015, o 19:53 --od wzoru na \(\displaystyle{ V}\) jest błąd

\(\displaystyle{ V = \pi H \frac{64 - H^2}{4} = \frac{-\pi H^3 + 64\pi H}{4}}\)

wyciągamy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\):
\(\displaystyle{ f(H) = -H^3 + 64H\\
f'(H) = -3H^2 + 64\\
\Delta = 768\\
\sqrt{\Delta} = 16\sqrt{3}\\}\)

teraz miejsca zerowe pochodnej, druga pochodna w punkcie na potwierdzenie maksimum i gotowe