Co to jest gęstość bryły?

[hubot]

Jak w temacie.

[Zysiolo]

Jest to stosunek masy bryły do jej objętości
\(\displaystyle{ d= \frac{m}{V}}\)

[hubot]

A co ten stosunek oznacza?

[AiDi]

Że dzielimy masę bryły przez objętość. Jest to gęstość średnia.

Od razu napiszę, że nie można zdefiniować gęstości w punkcie jako pochodnej \(\displaystyle{ \frac{dm}{dV}}\), gdyż nie ma to matematycznie żadnego sensu - nie da się określić fizycznie istotnej funkcji będącej tak po prostu funkcją objętości obszaru. Jeśli weźmiemy jakieś niejednorodne ciało i wyróżnimy sobie dwa obszary o takich samych objętościach w różnych częściach tego ciała, to na ogół masy odpowiadające tym obszarom będą różne. Aczkolwiek ten problem w fizyce problemem nie jest, bo wszelkie gęstości są wielkościami bardziej podstawowymi niż odpowiadające im całki po objętości (masa, ładunek, itd), więc nawet nie ma potrzeby ich definiowania innego niż "wielkość, która przecałkowana po danej objętości da nam masę wewnątrz tej objętości".

[Dasio11]

Od razu napiszę, że nie można zdefiniować gęstości w punkcie jako pochodnej \(\displaystyle{ \frac{dm}{dV}}\), gdyż nie ma to matematycznie żadnego sensu

No nie aż tak, że żadnego. Jeśli \(\displaystyle{ m}\) będzie miarą na tej bryle, która podzbiorowi przypisuje masę, a \(\displaystyle{ V}\) miarą przypisującą objętość, to gęstość będzie tzw. pochodną Radona-Nikodyma, i nawet oznaczenie jest takie samo: \(\displaystyle{ \frac{\dd m}{\dd V}.}\) Ale to może trochę za abstrakcyjne w podejściu fizycznym.

[a4karo]

A fizycznie można spróbowac tak:
niech \(\displaystyle{ m(x,r)}\) będzie masą kuli o środku \(\displaystyle{ x}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\) , to \(\displaystyle{ \rho(x)=\lim_{r\to 0} \frac{3m(x,r)}{4r^3}}\)

Edit: poprawiłem w liczniku \(\displaystyle{ m(x)}\) na oczywiste \(\displaystyle{ m(x,r)}\)

[SidCom]

...i w każdym takim punkcie \(\displaystyle{ x}\) mamy osobliwość...