V. ostr. przy podanym polu śc. b. i kącie -prośba o spraw

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Awatar użytkownika
luigi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 3 paź 2006, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Głuchołazy
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

V. ostr. przy podanym polu śc. b. i kącie -prośba o spraw

Post autor: luigi »

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ściana boczna ma pole równe S, a kąt przy wierzchołku ściany bocznej wynosi α. Oblicz objętość ostrosłupa.

Dane:
α, S

Szukane:
V=?

Rozwiązanie:
krawędź podstawy - a
krawędź boczna - b (trójkąt równoramienny o podstawie a)
pole ściany bocznej:
\(\displaystyle{ P_{sb}=\frac{1}{2}b^{2}sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}b^{2}sin\alpha}\)

\(\displaystyle{ b=\sqrt{\frac{2S}{sin\alpha}}}\)

obliczam a (ze ściany bocznej):
wysokość ściany bocznej - h
\(\displaystyle{ b=\sqrt{\frac{2S}{sin\alpha}}}\) - długości ramion ściany bocznej (obliczone powyżej)
podstawa trójkąta prostokątnego (ściana podzielona wysokością h na połowy) - \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{sin\alpha}}}=sin\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{sin\alpha}}{2\sqrt{2S}}=sin\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{sin\frac{\alpha}{2}2\sqrt{2S}}{\sqrt{sin\alpha}}}}\)
obliczam wysokość ściany bocznej h:
\(\displaystyle{ h^{2}+(\frac{a}{2})^{2}=b^{2}}\)
\(\displaystyle{ h^{2}=\frac{2S}{sin\alpha}-\frac{sin^{2}\frac{\alpha}{2}*4*2S}{4sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ h=\sqrt{\frac{8S(1-sin^{2}\frac{\alpha}{2})}{4sin\alpha}}}\)

Obliczam pole podstawy:
\(\displaystyle{ P_p=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{6S}sin\frac{\alpha}{2}}{2\sqrt{sin\alpha}}}\)

Obliczam wysokość podstawy:
\(\displaystyle{ h_1=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6S}sin\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{sin\alpha}}}\)

Obliczam wysokość ostrosłupa H (z trójkąta o długościach H, 1/3h1 (1/3 długości wysokości podstawy) oraz b):
\(\displaystyle{ (\frac{1}{3}h_1)^{2}+H^{2}=b^{2]}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{3}\frac{\sqrt{6S}sin\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{sin\alpha}})^{2}+H^{2}=(\sqrt{\frac{2S}{sin\alpha}})^{2}}}\)
\(\displaystyle{ H=\sqrt{\frac{2(6S-sin^{2}\frac{\alpha}{2})}{3sin^{2}\alpha}}\)

Obliczam objętość bryły:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P_p*H}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\frac{\sqrt{6S}sin\frac{\alpha}{2}}{2\sqrt{sin\alpha}}*\sqrt{\frac{2(6S-sin^{2}\frac{\alpha}{2})}{3sin^{2}\alpha}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{\sqrt{6S}sin\frac{\alpha}{2}\sqrt{2(6S-sin^{2}\frac{\alpha}{2})}}{6sin^{2}\alpha sin\alpha}}\)

proszę o sprawdzenie rozwiązania zadania

PS
kąt przy wierzchołku ściany bocznej to kąt między krawędziami ściany bocznej?
ODPOWIEDZ