Który ze stożków wpisanych w strefę o promieniu 1 ma największe pole powierzchni bocznej.
Wskazówka: Jeśli r oznacza promień podstawy stożka, a l jego tworzącą to pole powierzchni bocznej stożka jest równe \(\displaystyle{ \pi rl}\)
stożek wpisany w strefę
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
stożek wpisany w strefę
Stożek wpisany w strefę, czy w sferę?
W przypadku brył wpisanych w sferę/opisanych na sferze, najłatwiej rozważyć ich przekroje osiowe.
Tutaj mamy zatem trójkąt równoramienny wpisany w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 1}\).
Z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ r^2+(h-1)^2=1^2}\), skąd \(\displaystyle{ l^2=r^2+h^2=2h}\). Wobec tego mamy \(\displaystyle{ l=\sqrt{2h}, r=\sqrt{2h-h^2}}\), gdzie oczywiście \(\displaystyle{ 0<h<2}\).
Zatem \(\displaystyle{ \pi rl=\pi h\sqrt{4-2h}}\) i wystarczy rozważyć funkcję
W przypadku brył wpisanych w sferę/opisanych na sferze, najłatwiej rozważyć ich przekroje osiowe.
Tutaj mamy zatem trójkąt równoramienny wpisany w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 1}\).
Z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ r^2+(h-1)^2=1^2}\), skąd \(\displaystyle{ l^2=r^2+h^2=2h}\). Wobec tego mamy \(\displaystyle{ l=\sqrt{2h}, r=\sqrt{2h-h^2}}\), gdzie oczywiście \(\displaystyle{ 0<h<2}\).
Zatem \(\displaystyle{ \pi rl=\pi h\sqrt{4-2h}}\) i wystarczy rozważyć funkcję
\(\displaystyle{ P(h)=\pi h\sqrt{4-2h}}\) dla \(\displaystyle{ h\in(0,2)}\).