Kula styczna do krawędzi czworościanu

[Kowczi]

Oblicz pole powierzchni kuli stycznej do krawędzi czworościanu foremnego, jeśli krawędzie czworościanu mają długość a.

Wychodzi mi za każdym razem \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \pi a^{2}}\) . Odpowiedzi podpowiadają, że wynik jest nieco inny i ma \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). Pomożecie ?

[piasek101]

Wg mnie promień tej kuli ma \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt 2}{4}}\). Czyli będzie 0,5 w odpowiedzi.

[Kowczi]

Podpowiesz jak dojść do takiego wniosku? Bo nie mam zupełnie pomysłu..

[piasek101]

Skoro kula jest styczna do wszystkich krawędzi - to punkty styczności są na środku tych krawędzi.

Wziąłem dwa przeciwległe takie punkty (leżą wg mnie dokładnie po dwóch stronach kuli) - leżą na krawędziach skośnych czworościanu, ich odległość to średnica kuli.

[Kowczi]

A tą odległość jak mogę policzyć? Jakby tam był trójkąt prostokątny to promień byłby równy a. Czy w czworościanie jest jakiś specjalny kąt między krawędzią a podstawą?

[piasek101]

Zobacz cztery punkty styczności ułożone w kwadrat - średnica kuli to przekątna tego kwadratu.

[Kowczi]

Dzięki, poradziłem sobie z Twoją pomocą w końcu Zadanie rozwiązane, wszystko się zgadza

[bakala12]

Skoro kula jest styczna do wszystkich krawędzi - to punkty styczności są na środku tych krawędzi.

Może jestem zbytnio przewrażliwiony, ale dla mnie takie "oczywiste wnioski" wymagają uzasadnienia Żeby nie było, że tylko się czepiam, zaproponuję szkic uzasadnienia:

Ukryta treść:    

Rozważmy tą kulę wpisaną i dowolną ścianę czworościanu, powiedzmy, że nazwiemy ją \(\displaystyle{ ABC}\). Wówczas każda z krawędzi \(\displaystyle{ AB,BC,CA}\) ma dokładnie jeden punkt wspólny z naszą kulą, nazwijmy te punkty \(\displaystyle{ D,E,F}\) odpowiednio. Rozważmy teraz przekrój kuli płaszczyzną \(\displaystyle{ \text{DEF}}\). Okazuje się że jest to koło przechodzące przez punkty \(\displaystyle{ D,E,F}\), nazwijmy je pomocniczo \(\displaystyle{ o}\). Na mocy wcześniejszego spostrzeżenia o styczności kuli do krawędzi, nie ma ono z tymi krawędziami innych punktów wspólnych. Stąd wnioskujemy że koło \(\displaystyle{ o}\) jest wpisane w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), a więc punkty \(\displaystyle{ D,E,F}\) są środkami krawędzi bo ściana \(\displaystyle{ ABC}\) jest trójkątem równobocznym. Analogicznie dla pozostałych krawędzi.

[piasek101]

Mamy do czynienia z konkretną bryłą ,,foremną" do kwadratu - uzasadnienie uważam za zbędne.