Największa objętość graniastosłupa

[DanielMat]

Witam, kolejny problem z planimetrią, jako, że coraz więcej robię przygotowań do matury rozszerzonej ćwiczę geometrię bo jest to moja Pięta Achillesa, proszę o wskazówkę jak zawsze


Mam dane, że w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym suma długości wszystkich krawędzi wynosi 48, muszę wyznaczyć wymiary tak, aby objętość była największa.

Zapewne pojawi mi się tutaj funkcja kwadratowa i będę musiał obliczyć dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje właśnie wartości max. Nie brałem jeszcze pochodnych.

[sebnorth]

\(\displaystyle{ V = a^2\cdot h}\)

\(\displaystyle{ 8a + 4h = 48}\)

\(\displaystyle{ 2a + h = 12}\)

\(\displaystyle{ h = 12 - 2a}\)

\(\displaystyle{ V(a) = a^2\cdot (12-2a), a \in (0;6)}\)

bez pochodnych to można z nierówności między średnimi:

\(\displaystyle{ V(a) \leq ( \frac{a + a + 12-2a}{3} )^3 = 64}\)

dla \(\displaystyle{ a = 4}\) mamy \(\displaystyle{ V(a) = 64}\)

[DanielMat]

Nie bardzo rozumiem tego "nierówności pomiędzy średnimi" wiem, że
\(\displaystyle{ \text{Średnia arytmetyczna} \ge \text{Średnia geometryczna}}\)

[a4karo]

Tak z ciekawości: co ma objętość graniastosłupa wspólnego z planimetrią

[DanielMat]

Temat przeniesiono bo rzeczywiście pomyliłem działy, gdy przeszukiwałem zadania.

[AndrzejK]

Nie bardzo rozumiem tego "nierówności pomiędzy średnimi" wiem, że
\(\displaystyle{ \text{Średnia arytmetyczna} \ge \text{Średnia geometryczna}}\)

Zatem podana przez ciebie nierówność implikuje tę:
\(\displaystyle{ (\text{Średnia arytmetyczna})^3 \ge (\text{Średnia geometryczna})^3}\).

A dalej już łatwo \(\displaystyle{ V(a)=a \cdot a \cdot (12-2a)= \sqrt[3]{a \cdot a \cdot (12-2a)}^3 \le (\frac{a+a+12-2a}{3})^3=(\frac{12}{3})^3=4^3=64}\). Zatem ta objętość będzie zawsze mniejsza bądź równa 64. Równość zachodzi gdy wszystkie wyrazy są równe, tj. \(\displaystyle{ a=a=12-2a}\), a stąd już łatwo wywnioskować, że jest tak dla \(\displaystyle{ a=4}\).

[DanielMat]

Ok wszystko jasne, podziękowania poszły Dziękuję.