Witam, kolejny problem z planimetrią, jako, że coraz więcej robię przygotowań do matury rozszerzonej ćwiczę geometrię bo jest to moja Pięta Achillesa, proszę o wskazówkę jak zawsze
Mam dane, że w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym suma długości wszystkich krawędzi wynosi 48, muszę wyznaczyć wymiary tak, aby objętość była największa.
Zapewne pojawi mi się tutaj funkcja kwadratowa i będę musiał obliczyć dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje właśnie wartości max. Nie brałem jeszcze pochodnych.
Największa objętość graniastosłupa
- sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Największa objętość graniastosłupa
\(\displaystyle{ V = a^2\cdot h}\)
\(\displaystyle{ 8a + 4h = 48}\)
\(\displaystyle{ 2a + h = 12}\)
\(\displaystyle{ h = 12 - 2a}\)
\(\displaystyle{ V(a) = a^2\cdot (12-2a), a \in (0;6)}\)
bez pochodnych to można z nierówności między średnimi:
\(\displaystyle{ V(a) \leq ( \frac{a + a + 12-2a}{3} )^3 = 64}\)
dla \(\displaystyle{ a = 4}\) mamy \(\displaystyle{ V(a) = 64}\)
\(\displaystyle{ 8a + 4h = 48}\)
\(\displaystyle{ 2a + h = 12}\)
\(\displaystyle{ h = 12 - 2a}\)
\(\displaystyle{ V(a) = a^2\cdot (12-2a), a \in (0;6)}\)
bez pochodnych to można z nierówności między średnimi:
\(\displaystyle{ V(a) \leq ( \frac{a + a + 12-2a}{3} )^3 = 64}\)
dla \(\displaystyle{ a = 4}\) mamy \(\displaystyle{ V(a) = 64}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 1 gru 2013, o 23:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Przemyśl
- Podziękował: 23 razy
Największa objętość graniastosłupa
Nie bardzo rozumiem tego "nierówności pomiędzy średnimi" wiem, że
\(\displaystyle{ \text{Średnia arytmetyczna} \ge \text{Średnia geometryczna}}\)
\(\displaystyle{ \text{Średnia arytmetyczna} \ge \text{Średnia geometryczna}}\)
Ostatnio zmieniony 3 sty 2015, o 21:51 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 104
- Rejestracja: 1 gru 2013, o 23:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Przemyśl
- Podziękował: 23 razy
Największa objętość graniastosłupa
Temat przeniesiono bo rzeczywiście pomyliłem działy, gdy przeszukiwałem zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 974
- Rejestracja: 21 wrz 2013, o 15:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 114 razy
- Pomógł: 102 razy
Największa objętość graniastosłupa
Zatem podana przez ciebie nierówność implikuje tę:DanielMat pisze:Nie bardzo rozumiem tego "nierówności pomiędzy średnimi" wiem, że
\(\displaystyle{ \text{Średnia arytmetyczna} \ge \text{Średnia geometryczna}}\)
\(\displaystyle{ (\text{Średnia arytmetyczna})^3 \ge (\text{Średnia geometryczna})^3}\).
A dalej już łatwo \(\displaystyle{ V(a)=a \cdot a \cdot (12-2a)= \sqrt[3]{a \cdot a \cdot (12-2a)}^3 \le (\frac{a+a+12-2a}{3})^3=(\frac{12}{3})^3=4^3=64}\). Zatem ta objętość będzie zawsze mniejsza bądź równa 64. Równość zachodzi gdy wszystkie wyrazy są równe, tj. \(\displaystyle{ a=a=12-2a}\), a stąd już łatwo wywnioskować, że jest tak dla \(\displaystyle{ a=4}\).