Stosunek kuli wpisanej i opisanej na ostrosłupie

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Awatar użytkownika
Chewbacca97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 464
Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 120 razy

Stosunek kuli wpisanej i opisanej na ostrosłupie

Post autor: Chewbacca97 »

Zadanie pochodzi z Olimpiady "O diamentowy indeks AGH" 2007/2008.

Długość wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa długości krawędzi podstawy. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w ten ostrosłup do objętości kuli opisanej na nim.

Długość krawędzi podstawy to \(\displaystyle{ a}\), promień kuli wpisanej to \(\displaystyle{ r}\), a kuli opisanej to \(\displaystyle{ R}\).
Moje pytanie: czy kula wpisana i opisana mają wspólny środek? Tj. czy \(\displaystyle{ a=R+r}\) ?
Awatar użytkownika
Jever
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 30 sie 2013, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 5 razy

Stosunek kuli wpisanej i opisanej na ostrosłupie

Post autor: Jever »

W tym przypadku nie.

@edit
Ale nawet gdyby miały wspólny środek, to nie zachodziłoby \(\displaystyle{ R+r=a}\)
Awatar użytkownika
Chewbacca97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 464
Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 120 razy

Stosunek kuli wpisanej i opisanej na ostrosłupie

Post autor: Chewbacca97 »

W takim razie jak policzyć promień kuli wpisanej w ten ostrosłup?
Awatar użytkownika
Jever
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 30 sie 2013, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 5 razy

Stosunek kuli wpisanej i opisanej na ostrosłupie

Post autor: Jever »

Jednak się pomyliłem - jak mają wspólny środek, to suma promieni daje wysokość.



A jeżeli chodzi o wyliczenie promienia - korzystasz z tw. Pitagorasa dla trójkąta na rysunku zaznaczonego na czerwono. Jedyny odcinek, którego długość musisz znaleźć to część wysokości ściany bocznej. Możesz go wyliczyć odejmując od całości wysokości ten czarny odcinek. Wydaje mi się, że on będzie miał długość \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{6}}\) (1/3 wysokości podstawy). Wynika to z tego, że czworokąt (zielony) ma 2 kąty proste i 2 takie same boki. Po narysowaniu jednej przekątnej otrzymujemy 2 trójkąty równoramienne.

Rysunek:
Awatar użytkownika
Chewbacca97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 464
Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 120 razy

Stosunek kuli wpisanej i opisanej na ostrosłupie

Post autor: Chewbacca97 »

Jest to przekrój przechodzący przez wysokość podstawy, wysokość ściany bocznej i przez krawędź boczną.
(licząc od dołu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara)
\(\displaystyle{ \pagestyle{empty}
\begin{document}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196078431 0.490196078431 1.}
\newrgbcolor{qqttqq}{0. 0.2 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.04923838211,-1.057894963)(7.05132922741,6.95266633974)
\pspolygon[linecolor=qqttqq](0.,0.)(6.,0.)(4.,6.)
\psline[linecolor=qqttqq](0.,0.)(6.,0.)
\psline[linecolor=qqttqq](6.,0.)(4.,6.)
\psline[linecolor=qqttqq](4.,6.)(0.,0.)
\psline(4.,6.)(4.,0.)
\psline(4.,1.44151844011)(5.36346053216,1.90961840352)
\psline(4.,1.44151844011)(4.,0.)
\psline(4.,6.)(4.,1.44151844011)
\psline(5.36346053216,1.90961840352)(6.,0.)
\psline(4.,0.)(6.,0.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,0.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](6.,0.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,6.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](5.36346053216,1.90961840352)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](4.,0.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4.,1.44151844011)
\rput[bl](4.83117366035,1.22226480857){r}
\rput[bl](3.51108116102,0.742231172448){r}
\rput[bl](4.98118417164,-0.457852917851){h/3}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{document}}\)
Przyjąłem \(\displaystyle{ h}\) za wysokość podstawy, a \(\displaystyle{ H}\) za wysokość ściany bocznej.
Liczę wysokość ściany bocznej: \(\displaystyle{ a^{2} + \left( \frac{a \sqrt{3} }{6} \right)^{2} = H^{2} \Rightarrow H= \frac{a \sqrt{39} }{6}}\)
Licząc promień kuli wpisanej w ten ostrosłup korzystam z Twierdzenia Pitagorasa.
\(\displaystyle{ r^{2} + \left( \frac{a \sqrt{39} }{6}- \frac{a \sqrt{3} }{6} \right) ^{2} = \left( a-r\right) ^{2}}\)
Czy jest to poprawna droga?

EDIT już znalazłem swój błąd - okazało się, że źle wysokość liczyłem, przez co reszta wychodziła źle...
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Stosunek kuli wpisanej i opisanej na ostrosłupie

Post autor: norwimaj »

Można znaleźć promień kuli wpisanej, licząc objętość ostrosłupa dwoma sposobami. Sposób jest analogiczny do liczenia promienia okręgu wpisanego w trójkąt.
ODPOWIEDZ