Bryły opisane na kuli

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
isio05
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Bryły opisane na kuli

Post autor: isio05 » 7 gru 2014, o 11:26

Witam, potrzebuje pomocy z podanymi niżej zadaniami. Oczywiście, nie muszą to być pełne rozwiązania, powinny wystarczyć wskazówki co należy robić krok po kroku.

1. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość \(a\), a krawędź boczna - \(2a\). Wyznacz promień kuli wpisanej w ten ostrosłup.

2. Wyznacz pole powierzchni kuli wpisanej w stożek, którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoramienny o polu \(S\) i największym kącie równym \(120\).

3. Kula wpisana w stożek ma pole powierzchni dwa razy mniejsze od pola powierzchni całkowitej stożka. Oblicz cosinus kąta nachylenia tworzącej tego stożka do jego podstawy.

Z góry dziękuje za pomoc.
Ostatnio zmieniony 25 lut 2019, o 07:36 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Pojedyncze symbole literowe także zapisujemy z użyciem LateXa.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Bryły opisane na kuli

Post autor: a4karo » 7 gru 2014, o 11:36

Pokaż własne próby - pomożemy...

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2483
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Bryły opisane na kuli

Post autor: Dilectus » 7 gru 2014, o 11:59

Wskazówki:
1.
Narysyj przekrój tego ostrosłupa (z wpisaną kulą) płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek i środek boku podstawy. Przekrojem tym będzie trójkąt z wpisanym okręgiem. Promień tego okręgu będzie promieniem szukanej kuli.

2.
Narysuj przekrój osiowy tego stożka i wpisz weń okrąg. Znajdź jego promień - jest to promień szukanej kuli.

3.
Potem, bo muszę kończyć...

isio05
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Bryły opisane na kuli

Post autor: isio05 » 7 gru 2014, o 12:12

Dobrze, to co wymyśliłem dla pierwszego:
Stwierdziłem że promień kuli wpisanej będzie równy \(1/3\) wysokości ostrosłupa. Wyliczyłem więc tą wysokość otrzymując wynik: \(\frac{ \sqrt{33}a}{3}\). Potem tylko pomnożyłem to przez \(1/3\) otrzymując \(\frac{ \sqrt{33}a}{9}\). I ogólnie w tym momencie mnie brakło, ponieważ wynikiem jest liczba \(\frac{\left( 3 \sqrt{5} - 1 \right) \sqrt{33}a }{132}\)

Odnośnie drugiego próbowałem to tak jak napisał Dilectus. Jednak zastanawia mnie jeszcze jedna rzecz mianowicie zależność \(H _{przekroju}=?R\). Wiem, że to dość banalne pytanie jednak często się właśnie na takich rzeczach wykładam.
Ostatnio zmieniony 25 lut 2019, o 07:38 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Bryły opisane na kuli

Post autor: a4karo » 7 gru 2014, o 12:30

Stwierdziłem że promień kuli wpisanej będzie równy 1/3 wysokości ostrosłupa.
Na jakiej podstawie? To jest nieuprawnione.

isio05
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Bryły opisane na kuli

Post autor: isio05 » 7 gru 2014, o 13:05

Dobrze, podszedłem więc do sprawy w sposób opisany przez Dilectusa i otrzymałem następujący trójkąt (wraz z uzasadnieniem skąd pochodzi dana wartość):
Podstawa: \(\frac{a}{2}\) - z podobieństwa trójkątów (Podstawa do trójkąta utworzonego przez przekrój)
Boki: \(\frac{ \sqrt{15}a }{2}\) - wysokości boków ostrosłupa
Wysokość: \(\frac{ \sqrt{33}a }{9} = H _{ostrosłupa}\) - z tego, że przekrój przechodzi przez środek krawędzi podstawy i wierzchołek.
I mam taki trójkąt z wpisanym kołem i średnio mam pomysł co dalej z nim czynić.

Awatar użytkownika
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1446
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto

Bryły opisane na kuli

Post autor: Gouranga » 7 gru 2014, o 13:13

isio05, może warto skorzystać z wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt?

Konradek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 29 lis 2011, o 20:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Bryły opisane na kuli

Post autor: Konradek » 7 gru 2014, o 13:23

isio05 pisze: Wysokość: \(\frac{ \sqrt{33}a }{9} = H _{ostrosłupa}\)
z twierdzenia Pitagorasa:
\(h^2=\left(\frac{ \sqrt{15}a}{2}\right)^2-\left(\frac{a}{4}\right)^2\)
\(h^2= \frac{15a^2}{4}- \frac{a^2}{16}\)
\(h^2= \frac{59a^2}{16}\)
\(h= \sqrt{\frac{59a^2}{16}}\) bo \(h>0\)
\(h= \frac{\sqrt{59}a}{4}\)

isio05
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Bryły opisane na kuli

Post autor: isio05 » 7 gru 2014, o 13:29

Ok, dzięki za pomoc. 1 i 2 wyszło, 3 jeszcze pomęczę. Jakby co będę pisał.

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2483
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Bryły opisane na kuli

Post autor: Dilectus » 7 gru 2014, o 14:05

1. Przekrój tego ostrosłupa to trójkąt o bokach \(2a\), \(a \frac{ \sqrt{3} }{2}\) i \(a \frac{ \sqrt{15} }{2}\). Znajdź promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

2. Masz pole przekroju \(S\) (trólkąt równoramienny) i kąt wierzchołkowy stożka \(\alpha\).
Niech \(l\) - tworząca stożka, \(r\) - promień podstawy.

\(S= rh\)

\(h= \frac{S}{r}\)

\(\frac{h}{l}=\cos\alpha= \frac{1}{2} \Rightarrow h= \frac{1}{2}l\)

\(\frac{r}{l} =\sin\alpha= \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow r=l \frac{ \sqrt{3} }{2}\)

Przekrój stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie \(2r\) i bokach \(l\)

Wpisz weń okrąg i policz promień \(R\). Będzie to promień kuli wpisanej w stożek.

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16274
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta

Bryły opisane na kuli

Post autor: anna_ » 24 lut 2019, o 22:44

Dilectus pisze:1. Przekrój tego ostrosłupa to trójkąt o bokach \(2a\), \(a \frac{ \sqrt{3} }{2}\) i \(a \frac{ \sqrt{15} }{2}\). Znajdź promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
To fałsz.
To nie będzie promień kuli.

ODPOWIEDZ