Pole i objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

[burzaa]

Oblicz pole i objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy a=4 i wysokości 3 razy dłuższej od krawędzi podstawy.
H- 12cm
Czy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) h podstawy to \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{3} }{3}}\) ?
Jeśli tak to h ściany bocznej: \(\displaystyle{ 12 + \frac{2}{ \sqrt{3} }}\) ?
A po usunięciu niewymierności: \(\displaystyle{ 12 + \frac{2 \sqrt{3} }{3}}\) ?
I wynik pola bocznego to: \(\displaystyle{ 72 + 4 \sqrt{3}}\)

[Dilectus]

\(\displaystyle{ h _{podst} =a \frac{ \sqrt{3} }{2} =2 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ h _{sciany}^2= \frac{109}{12}a^2= \frac{109 \cdot 4}{3}}\)

\(\displaystyle{ h _{sciany}= 2 \sqrt{ \frac{109}{3} }}}\)

\(\displaystyle{ s _{sciany}= \frac{1}{2}a \cdot a \sqrt{ \frac{109}{12} }=8\sqrt{ \frac{109}{12} }= 4\sqrt{ \frac{109}{3}}\)

[burzaa]

nie rozumiem skąd te liczby po obliczeniu h podstawy

[Dilectus]

nie rozumiem skąd te liczby po obliczeniu h podstawy

Wysokość trójkąta równobocznego o boku a (to jest podstawa ostrosłupa)

\(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

A bok \(\displaystyle{ a =4}\)

\(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{2} =4 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}=2 \sqrt{3}}\)

Spodek wysokości ostrosłupa leży na przecięciu wysokości podstawy. A w trójkącie równobocznym wysokości dzielą się w stosunku \(\displaystyle{ \frac{2}{1}}\)

Wysokość ściany bocznej \(\displaystyle{ h _{sciany}}\)liczę z trójkąta, prostokątnego o przyprostokątnych \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h _{podst} i H}\)

[burzaa]

To nie będzie w takim razie:
\(\displaystyle{ (\frac{2 \sqrt{3} }{3}) ^{2} + 12 ^{2}= h sciany ^{2}}\) ?

[Dilectus]

Hmm... Policzmy:

\(\displaystyle{ h _{sciany}^2= \left( \frac{1}{3}h _{podst}\right)^2+ H^2}\)

\(\displaystyle{ h _{sciany}^2= \left( \frac{1}{3}\cdot a \frac{ \sqrt{3} }{2}\right)^2+\left( 3a\right)^2}\)

\(\displaystyle{ h _{sciany}^2=a^2\cdot \frac{3}{3^2\cdot 2^2}+9a^2}\)

\(\displaystyle{ h _{sciany}^2= a^2\left( \frac{1}{12}+9 \right)}\)

\(\displaystyle{ h _{sciany}^2= a^2 \frac{109}{12}}\)

\(\displaystyle{ h _{sciany}= a \sqrt{\frac{109}{12}}}\)

Ale \(\displaystyle{ a=4}\), więc

\(\displaystyle{ h _{sciany}= 4 \sqrt{\frac{109}{12}}}\)

\(\displaystyle{ h _{sciany}= 4 \sqrt{\frac{109}{3\cdot 4}}}\)

\(\displaystyle{ h _{sciany}= \sqrt{\frac{16\cdot 109}{3\cdot 4}}}\)

\(\displaystyle{ h _{sciany}= \sqrt{\frac{4\cdot 109}{3}}=2 \sqrt{ \frac{109}{3}}\)

To nie będzie w takim razie:
\(\displaystyle{ (\frac{2 \sqrt{3} }{3}) ^{2} + 12 ^{2}= h_{sciany} ^{2}}\) ?

Tak, właśnie tak będzie. Popatrzmy:

\(\displaystyle{ (\frac{2 \sqrt{3} }{3}) ^{2} + 12 ^{2}= h_{sciany} ^{2}}\)

\(\displaystyle{ h_{sciany} ^{2}= \frac{4}{3} +12^2= \frac{4+3\cdot 144}{3}= \frac{436}{3}= \frac{4\cdot 109}{3}}\)

\(\displaystyle{ h_{sciany}= 2 \sqrt{\frac{109}{3}}}\)