Przez krawędź \(\displaystyle{ AB}\) podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(\displaystyle{ ABCD}\) poprowadzono płaszczyznę do której należy środek \(\displaystyle{ S}\) krawędzi \(\displaystyle{ CD}\). Wiedząc że otrzymany przekrój tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \(\displaystyle{ 45}\) stopni, oblicz kosinus kąta \(\displaystyle{ ASB}\).
Bardzo proszę o pomoc, bo nie mam żadnego pomysłu jak zrobić to zadanie.
Pozdrawiam
przekrój ostrosłupa
-
Masita+++
- Użytkownik
- Posty: 112
- Rejestracja: 5 sty 2014, o 20:40
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: kraków
- Podziękował: 33 razy
przekrój ostrosłupa
Ostatnio zmieniony 28 lis 2014, o 13:47 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
przekrój ostrosłupa
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ E}\) - środek krawędzi \(\displaystyle{ AB}\)
\(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy
\(\displaystyle{ b}\) - krawędź boczna
\(\displaystyle{ h=|ES|}\)
\(\displaystyle{ \alpha=\angle BSC}\)
Mamy \(\displaystyle{ |CS|=\frac{b}{2}, |CE|=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\)
Z twierdzenia kosinusów w trójkącie \(\displaystyle{ CES}\) mamy \(\displaystyle{ \left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2+h^2-2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot h\cdot\cos\frac{\pi}{4}}\).
Spójrzmy na ścianę \(\displaystyle{ BCD}\). Tam \(\displaystyle{ BS}\) jest środkową opuszczioną na bok \(\displaystyle{ CD}\). Wyznaczmy jej długość. Z twierdzenia kosinusów w trójkątach \(\displaystyle{ BCS, BDS}\) dostajemy odpowiednio:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2=\frac{b^2}{4}+|BS|^2-2|BS|\frac{b}{2}\cos\alpha \\ b^2=\frac{b^2}{4}+|BS|^2-2|BS|\frac{b}{2}\cos(\pi-\alpha) \end{cases}}\)
Dodając stronami równania układu i korzystając ze wzoru redukcyjnego łatwo otrzymamy \(\displaystyle{ a^2+b^2=\frac{b^2}{2}+2|BS|^2}\), skąd \(\displaystyle{ |BS|^2=\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{4}}\).
Zatem \(\displaystyle{ |BS|^2=\frac{5}{4}a^2+h^2-\frac{ah\sqrt{6}}{2}}\).
Z drugiej strony z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(\displaystyle{ BES}\) mamy \(\displaystyle{ |BS|^2=\frac{a^2}{4}+h^2}\). Stąd dostajemy \(\displaystyle{ a^2=\frac{ah\sqrt{6}}{2}}\), co daje \(\displaystyle{ \frac{a}{2h}=\frac{\sqrt{6}}{4}}\). Otrzymany stosunek to tangens połowy kąta \(\displaystyle{ ASB}\).
Za pomocą odpowiednich tożsamości trygonometrycznych spróbuj obliczyć szukany kosinus kąta.
\(\displaystyle{ E}\) - środek krawędzi \(\displaystyle{ AB}\)
\(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy
\(\displaystyle{ b}\) - krawędź boczna
\(\displaystyle{ h=|ES|}\)
\(\displaystyle{ \alpha=\angle BSC}\)
Mamy \(\displaystyle{ |CS|=\frac{b}{2}, |CE|=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\)
Z twierdzenia kosinusów w trójkącie \(\displaystyle{ CES}\) mamy \(\displaystyle{ \left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2+h^2-2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot h\cdot\cos\frac{\pi}{4}}\).
Spójrzmy na ścianę \(\displaystyle{ BCD}\). Tam \(\displaystyle{ BS}\) jest środkową opuszczioną na bok \(\displaystyle{ CD}\). Wyznaczmy jej długość. Z twierdzenia kosinusów w trójkątach \(\displaystyle{ BCS, BDS}\) dostajemy odpowiednio:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2=\frac{b^2}{4}+|BS|^2-2|BS|\frac{b}{2}\cos\alpha \\ b^2=\frac{b^2}{4}+|BS|^2-2|BS|\frac{b}{2}\cos(\pi-\alpha) \end{cases}}\)
Dodając stronami równania układu i korzystając ze wzoru redukcyjnego łatwo otrzymamy \(\displaystyle{ a^2+b^2=\frac{b^2}{2}+2|BS|^2}\), skąd \(\displaystyle{ |BS|^2=\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{4}}\).
Zatem \(\displaystyle{ |BS|^2=\frac{5}{4}a^2+h^2-\frac{ah\sqrt{6}}{2}}\).
Z drugiej strony z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(\displaystyle{ BES}\) mamy \(\displaystyle{ |BS|^2=\frac{a^2}{4}+h^2}\). Stąd dostajemy \(\displaystyle{ a^2=\frac{ah\sqrt{6}}{2}}\), co daje \(\displaystyle{ \frac{a}{2h}=\frac{\sqrt{6}}{4}}\). Otrzymany stosunek to tangens połowy kąta \(\displaystyle{ ASB}\).
Za pomocą odpowiednich tożsamości trygonometrycznych spróbuj obliczyć szukany kosinus kąta.
-
Masita+++
- Użytkownik
- Posty: 112
- Rejestracja: 5 sty 2014, o 20:40
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: kraków
- Podziękował: 33 razy
przekrój ostrosłupa
Bardzo dziękuje no faktycznie nie było proste ale już wszystko wiem i teraz wiem że czasami trzeba odpowiedzi poszukać trochę dalej