Zadanie o kuli z odciętą częścią

[kumiech]

Mam problem z zadaniem i nic mi nie wychodzi, kiedy to zadanie próbuję obliczyć. Oto treść:

Z kuli o promieniu 5 cm odcięto czaszę w odległości 3 cm od środka kuli. Oblicz pole powierzchni otrzymanego przekroju.

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.

[Jopekk]

Objętość odciętej czaszy: \(\displaystyle{ \pi\int_{5}^{3}(\sqrt{25-x^{2}})^{2}dx=\pi(25(5)-\frac{5^{3}}{3}+\frac{3^{3}}{3}-25(3)=\frac{52\pi}{3}}\)

Objętość połowy kuli \(\displaystyle{ =\frac{4\pi5^{3}}{6}=\frac{250\pi}{3}}\). Pole przekroju połowy kuli \(\displaystyle{ =25\pi}\).

\(\displaystyle{ \frac{250x\pi}{3}=\frac{1300\pi^{2}}{3}}\) \(\displaystyle{ Pole=5.2\pi cm^{2}}\)

[kumiech]

Przykro mi, ale ta odpowiedź jest zła. Dokładnie powinno wyjść \(\displaystyle{ 16\pi}\)
\(\displaystyle{ cm^{2}}\)

Jeśli to nie sprawi problemu, to można prosić o dokładny opis jak to było liczone? Przepisać to ja potrafię, ale chciałbym na wszelki wypadek wiedzieć, jeśli mnie zapytają, jak ja to robiłem.

[Jopekk]

Przepraszam, jakiegoś filma złapałem.

Promień tego przekroju można wyliczyć ze wzoru:

\(\displaystyle{ r_{1}^{2}=(2r-h)\cdot h}\), gdzie r1 to promień szukanego przekroju, r promień kuli, h to odległość środka przekroju do bliższego "wierzchołka".

Po podstawieniu: \(\displaystyle{ r_{1}^{2}=(2(5)-2)\cdot 2=16}\)
Czyli pole przekroju wynosi \(\displaystyle{ 16\pi}\)

A dokładne wyprowadzenie znajduje się na stronie.