Kąt między przekątnymi ścian sześcianu

[poetaopole]

Korzystając z rachunku wektorowego obliczyć kąt między przekątnymi sąsiadującycyh ze sobą ścian sześcianu

[kerajs]

Umieszczę sześcian w układzie współrzędnych . Ma on np wierzchołki : \(\displaystyle{ (0,0,0),(a,0,0),(a,a,0),(0,a,0),(0,0,a),(a,0,a),(a,a,a),(0,a,a)}\)Teraz wybierz sobie dwie ściany i znajdż wektory odpowiadające przekątnym tych ścian np:\(\displaystyle{ [a,a,0] , [0,a,a]}\).
I z iloczynu skalarnego znajdziesz kąt
\(\displaystyle{ 0+a^2+0= \sqrt{2a^2} \sqrt{2a^2}\cos \alpha}\)

[bakala12]

Korzystanie tutaj z tak wyrafinowanych narzędzi jest przegięciem. Wszakże, łatwo dorysować jeszcze jedną przekątną ściany sześcianu i dostać trójkąt równoboczny.

[kerajs]

Ale bakala12, treść zadania to:

Korzystając z rachunku wektorowego obliczyć kąt między przekątnymi sąsiadującycyh ze sobą ścian sześcianu

więc to co napisałeś nie wystarczy.

Więc może to nie będzie przegięciem (?):
Sześcian o boku a ma wierzchołki A,B,C,D,A',B',C',D'
\(\displaystyle{ \vec{AB'} =\vec{AC}+ \vec{CB'}}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB'}\circ \vec{AB'}=\left(\vec{AC}+ \vec{CB'} \right) \circ\left( \vec{AC}+ \vec{CB'}\right)}\)
\(\displaystyle{ \left|\vec{AB'} \right| ^{2} =\left|\vec{AC} \right| ^{2}+2\vec{AC} \circ \vec{CB'}+\left|\vec{CB'} \right| ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left|\vec{AB'} \right| ^{2} =\left|\vec{AC} \right| ^{2}-2\vec{CA} \circ \vec{CB'}+\left|\vec{CB'} \right| ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2a^2=2a^2-2\left|\vec{CA} \right| \cdot \left|\vec{CB'} \right| \cdot \cos \alpha +2a^2}\)
\(\displaystyle{ 0=2a^2-2 \cdot a \sqrt{2}\cdot a \sqrt{2}\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{2}}\)
Tu wyznaczyłem kąt miedzy przekątnymi CA i CB'.

[norwimaj]

W tym zadaniu są do rozpatrzenia dwa przypadki:
- krawędzie mają wspólny koniec (wymaganie tutaj metody wektorowej jest przegięciem),
- krawędzie są skośne.

Edit: właściwie te przypadki się nie różnią.