Maksymalizacja pola powierzchni prostopadłościanu

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Awatar użytkownika
Lyzka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 516
Rejestracja: 3 lis 2013, o 21:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 168 razy

Maksymalizacja pola powierzchni prostopadłościanu

Post autor: Lyzka »

przekatna prostopadloscianu ma dlugosc \(\displaystyle{ d}\). jakie najwieksze pole powierzchni calkowitej moze miec taki prostopadloscian
Ostatnio zmieniony 2 paź 2014, o 21:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Maksymalizacja pola powierzchni prostopadłościanu

Post autor: musialmi »

Musisz stworzyć funkcję zależności pola od przekątnej i znaleźć największą wartość tej funkcji
Awatar użytkownika
Lyzka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 516
Rejestracja: 3 lis 2013, o 21:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 168 razy

Maksymalizacja pola powierzchni prostopadłościanu

Post autor: Lyzka »

na razie zrobiłam tak:
\(\displaystyle{ d= \sqrt{a ^{2}+b ^{2} +c ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt{d ^{2}-b ^{2}-c ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ b= \sqrt{d ^{2}-a ^{2}-c ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ c= \sqrt{d ^{2}-a ^{2}-b ^{2} }}\)
i myślałam żeby podstawić pod wzór na \(\displaystyle{ P _{c} =2ab+2ac+2bc}\). tylko ze coś nie wychodzi
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Maksymalizacja pola powierzchni prostopadłościanu

Post autor: Premislav »

Można wykorzystać nierówność ciągów jednomonotonicznych lub zwykłe zwijanie w kwadraty, by wykazać, że \(\displaystyle{ d ^{2}=a ^{2}+b ^{2} +c ^{2} \ge ab+ac+bc}\). Równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ a=b=c}\). Tę nierówność przemnóż stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) i voila.
PS lol, mój post w Stereometrii to jak wykład Forresta Gumpa na MIT.
Awatar użytkownika
Lyzka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 516
Rejestracja: 3 lis 2013, o 21:14
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 168 razy

Maksymalizacja pola powierzchni prostopadłościanu

Post autor: Lyzka »

no ale my nie wiemy czy \(\displaystyle{ a=b=c}\)
Ostatnio zmieniony 2 paź 2014, o 21:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Maksymalizacja pola powierzchni prostopadłościanu

Post autor: Zahion »

\(\displaystyle{ P _{c} =2(ab+bc+ac) \le 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}) = 2(3d^{2}-2(a^{2}+b^{2}+c^{2}) =2(3d^{2}-2d^{2})=2d^{2}}\).
Sugeruje się Twoimi zapisami.
Największe pole powierzchni całkowitej ten prostopadłościan przyjmie gdy \(\displaystyle{ a = b = c}\)(bo tylko wtedy zajdzie równość w nierówności) i wyniesie ono \(\displaystyle{ 2d^{2}}\).
ODPOWIEDZ