Zad
Na czterech wzajemnie stycznych kulach o promieniu \(\displaystyle{ r}\) opisano kulę. Znależć romień tej kuli.
promien kuli
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
promien kuli
Środki czterech danych kul można potraktować jako wierzchołki czworościanu foremnego o krawędzi \(\displaystyle{ 2r}\). Promień szukanej kuli jest większy o \(\displaystyle{ r}\) od promienia kuli opisanej na tym czworościanie foremnym. Ponieważ promień kuli opisanej na czworościanie foremnym o krawędzi \(\displaystyle{ a}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{ a \sqrt{6}}{4}}\), więc szukany promień kuli jest równy \(\displaystyle{ R=r+ \frac{2 r \sqrt{6}}{4}=r(1+ \frac{ \sqrt{6}}{2})}\).
Jak wyznaczyć promień kuli opisanej na czworościanie foremnym?
Opisując na danym czworościanie stożek i dokonując osiowego przekroju tego stożka otrzymamy trójkąt ABC o bokach \(\displaystyle{ a, a, \frac{ 2a \sqrt{3}}{4}}\). Szukany promień kuli jest równy promieniowi okręgu opisującego na trójkącie ABC. Korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ R= \frac{abc}{S}}\) i uwzględniając, że \(\displaystyle{ S= \frac{1}{2} \frac{ 2a \sqrt{3}}{3} \sqrt{ a^2 - ( \frac{ a \sqrt{3}}{3} )^2 }=\frac{ a^2 \sqrt{2}}{3}}\) otrzymamy \(\displaystyle{ R= \frac{ \frac{2a^3}{ \sqrt{3}} }{ 4 \frac{ a^2 \sqrt{2}}{3} }= \frac{a \sqrt{6}}{4}}\).
Jak wyznaczyć promień kuli opisanej na czworościanie foremnym?
Opisując na danym czworościanie stożek i dokonując osiowego przekroju tego stożka otrzymamy trójkąt ABC o bokach \(\displaystyle{ a, a, \frac{ 2a \sqrt{3}}{4}}\). Szukany promień kuli jest równy promieniowi okręgu opisującego na trójkącie ABC. Korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ R= \frac{abc}{S}}\) i uwzględniając, że \(\displaystyle{ S= \frac{1}{2} \frac{ 2a \sqrt{3}}{3} \sqrt{ a^2 - ( \frac{ a \sqrt{3}}{3} )^2 }=\frac{ a^2 \sqrt{2}}{3}}\) otrzymamy \(\displaystyle{ R= \frac{ \frac{2a^3}{ \sqrt{3}} }{ 4 \frac{ a^2 \sqrt{2}}{3} }= \frac{a \sqrt{6}}{4}}\).