czy ktos zna się na bryłach?? Bo ja kompletnie nie. Mógłby ktos mi pomóc z tym zadaniem???:
Kula o promieniu R jest wpisana w stożek, którego wysokość jest równa 8, a promień podstawy 5. Oblicz R.
kula w stożku
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
kula w stożku
Rozważmy zadanie ogólniejsze: Wyznaczyć promień \(\displaystyle{ r}\) kuli wpisanej w stożek o promieniu \(\displaystyle{ a}\) i wysokości \(\displaystyle{ h}\).
Skorzystamy tutaj z wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt: \(\displaystyle{ r=\frac{ S}{ \frac{1}{2}p }}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) to pole trójkąta, a \(\displaystyle{ p}\) to długość obwodu. Dodajmy jeszcze, że \(\displaystyle{ l}\) jest tworzącą stożka. W takim razie długość obwodu to \(\displaystyle{ a+a+l+l=2(a+l)}\).
W przekroju osiowym stożka otrzymujemy jednoznacznie przekrój kuli wzdłuż jej koła wielkiego. To koło wpisane jest w trójkąt, zatem jego promień jest równy \(\displaystyle{ r=\frac{S}{ \frac{1}{2}p }=\frac{ \frac{(a+a) h}{2} }{ \frac{1}{2} 2(a+l) }= \frac{ah}{a+l} = \frac{ah}{ a+ \sqrt{a^2 + h^2}}}\).
Skorzystamy tutaj z wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt: \(\displaystyle{ r=\frac{ S}{ \frac{1}{2}p }}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) to pole trójkąta, a \(\displaystyle{ p}\) to długość obwodu. Dodajmy jeszcze, że \(\displaystyle{ l}\) jest tworzącą stożka. W takim razie długość obwodu to \(\displaystyle{ a+a+l+l=2(a+l)}\).
W przekroju osiowym stożka otrzymujemy jednoznacznie przekrój kuli wzdłuż jej koła wielkiego. To koło wpisane jest w trójkąt, zatem jego promień jest równy \(\displaystyle{ r=\frac{S}{ \frac{1}{2}p }=\frac{ \frac{(a+a) h}{2} }{ \frac{1}{2} 2(a+l) }= \frac{ah}{a+l} = \frac{ah}{ a+ \sqrt{a^2 + h^2}}}\).