Na czworoscianie foremnym opisano walec...znajdz stosunek...

[kubastan]

Witam wszystkich
Mam dla was jedno z trudniejszych zadan, ale mam nadzieje ze ktos sobie poradzi
zad:
Na czworoscianie foremnym opisano walec w taki sposob, ze skosne krawedzie czwroroscianu sa srednicami podstaw walca. Znajdz stosunek objetosci kuli opisanej na walcu do objetosci kuli wpisanej w czworoscian.
Odpowiedz ma wyjsc 27.

Pozdrawiam i licze na wasza pomoc

[szymuś]

a ja ju pisze
R to promien kuli wpisanej w walec o wysokości H
r to p kuli wpisanej w czworoscian
a krawedz czworoscianu

zauwazamy ze \(\displaystyle{ R^2=(\frac{a}{2})^2 + (\frac{H}{2})^2 \\
H^2 + (\frac{a}{2})^2= (\frac{a\sqrt3}{2})^2 H^2= \frac{a^2}{2}}\)
podstawiajac do pierwszgo \(\displaystyle{ R^2=(\frac{a}{2})^2 + \frac{a^2}{8} R= \frac{\sqrt6}{4} a}\)

ok a teraz zajmijmy sie kula wpisaca w czworoscian

środek jej leży na przecięciu wysokości trójkąta uzyskanego z przekroju czworościanu płaszczyzną zawierającą krawędź boczną, wysokość przeciwległej ściany bocznej oraz wysokość podstawy ja pamietam ze jest to zawsze \(\displaystyle{ a\frac{\sqrt{6}}{12}}\) a dochodzi sie do tego mniej wiecej tak

PS: znajdziecie przydatny rys

x to wysokosc czworoscianu liczymy z pitagorasa uzywajac do tego 2/3 wysokosci podstawy

\(\displaystyle{ x^2=a^2-(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2 x^2=\frac{2a^2}{3} x=a\frac{\sqrt{6}}{3}\\
(x-r)^2=(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2+r^2 \frac{a^2}{3}=2a\frac{\sqrt{6}}{3}r r=a\frac{\sqrt{6}}{12}}\)


no i pozostaje stosunek
\(\displaystyle{ \frac{V_R}{V_r}=\frac{\frac{4}{3}\pi (\frac{\sqrt6}{4}a)^3}{\frac{4}{3}\pi (\frac{\sqrt6}{12} a)^3} =27}\)

[kubastan]

Jesteś poprostu genialny Chcialbym byc taki madry jak ty Moze kiedys bede...

[szymuś]

hehe dziękuje czyli pomogłem? ciesze sie

jutro egzam


oby nam sie....

[kubastan]

Ja mam mature dopiero za rok Bo jestem dopiero w 2 klasie. Ale widzac twoje zdolnosci to chyba nie masz sie co martwic i roztrzaskasz poziom rozszerzony w godzine