Kula w stożku. Objętośći stożka i kuli.

[lkamilek]

Wie ktoś jak to zrobić??

W model stożka, którego przekrój jest trójkątem prostokątnym włożono kule o promieniu R i nalano wody zatapiając ją. Powierzchnia wody jest styczna do kuli. Oblicz odleglosc powierzchni wody od wierzchołka stożka po wyjeciu kuli. Czy wlana woda wystarczy na wypełnienie czworościanu foremnego o krawedzi 2R

[Yavien]

W model stożka, którego przekrój jest trójkątem prostokątnym

Kąt prosty mamy przy wierzchołku stożka, przekrój jest trójkatem prostokątnym równoramiennym, "postawionym" na wierzchołku kata prostego tak, że przeciwprostokatna jest równoległa do podłoża. (zobacz rysunek)
|OS| = |OA| = |OB| = |WA| = |WB| = R
zatem
\(\displaystyle{ h_1 = R(1+ sqrt2)}\)
Objętość stożka z kulką: \(\displaystyle{ V_1 = \frac{1}{3} \pi {h_1}^3}\)
Objętość stożka bez kulki: \(\displaystyle{ V_2 = \frac{1}{3} \pi {h_2}^3}\) (czyli objętość wody)
Objętość kulki: \(\displaystyle{ V_K = \frac{4}{3} \pi R^3}\)

Ponadto \(\displaystyle{ V_2 = V_1 - V_K}\) będzie równanie ze zmiennymi \(\displaystyle{ h_1, h_2, R}\) wstawiamy wyliczone \(\displaystyle{ h_1}\) i wyprowadzamy wzór na \(\displaystyle{ h_2}\) w zależności od R

A do drugiego pytania

Czy wlana woda wystarczy na wypełnienie czworościanu foremnego o krawedzi 2R

trzeba zastosować wzór na objętość czworościanu i porównać z \(\displaystyle{ V_2}\)