Nie mam pomysłu na to zadanie, pomożecie?
Ścianami graniastosłupa są równoległoboki. Uzasadnij, że jego przekrój płaszczyzną przechodzącą przez końce krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka dzieli przekątną wychodzącą z tego wierzchołka w stosunku 1:2.
Płaszczyzna dzieli przekątna w stosunku 1:2. Dowód
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Płaszczyzna dzieli przekątna w stosunku 1:2. Dowód
Przypuszczam, że nie chodzi o dowolny graniastosłup a o równoległościan.
(bo graniastosłup o podstawie trójkątnej nie ma przekątnych, a o podstawie pięcio lub wiecej kątnej ma ich kilka )
Niech wierzchołki dolnej podstawy to A,B,C,D, a górnej A',B',C',D'.
Przekrój niech będzie trójkątem B' D' C.
Przekątne B'D' i A'C' w górnej podstawie przecinają się w punkcie K.
Łatwo dowieść że punkt K dzieli każdą przekątna na połowę (bo kąt A'KB' jest równy kątowi C'KD' więc z Talesa mam \(\displaystyle{ \frac{A'K}{A'B'} = \frac{KC'}{C'D'}}\) )
W przekroju ACC'A' (radzę narysować rysunek pomocniczy) zaznaczam K i rysuję odcinki KC (to odcinek po jakim płaszczyzna tnie równoległościan) i AC' (ten jest przekątną równoległościanu) . Ich przecięcie oznaczam przez punkt L. Kąt C'KL jest równy kątowi ALC więc z Talesa mam
\(\displaystyle{ \frac{LC'}{KC'} = \frac{AL}{AC}}\)
\(\displaystyle{ \frac{LC'}{ \frac{1}{2} AC} = \frac{AL}{AC}}\)
\(\displaystyle{ \frac{LC'}{ AL} = \frac{1}{2}}\)
co należało dowieść.
(bo graniastosłup o podstawie trójkątnej nie ma przekątnych, a o podstawie pięcio lub wiecej kątnej ma ich kilka )
Niech wierzchołki dolnej podstawy to A,B,C,D, a górnej A',B',C',D'.
Przekrój niech będzie trójkątem B' D' C.
Przekątne B'D' i A'C' w górnej podstawie przecinają się w punkcie K.
Łatwo dowieść że punkt K dzieli każdą przekątna na połowę (bo kąt A'KB' jest równy kątowi C'KD' więc z Talesa mam \(\displaystyle{ \frac{A'K}{A'B'} = \frac{KC'}{C'D'}}\) )
W przekroju ACC'A' (radzę narysować rysunek pomocniczy) zaznaczam K i rysuję odcinki KC (to odcinek po jakim płaszczyzna tnie równoległościan) i AC' (ten jest przekątną równoległościanu) . Ich przecięcie oznaczam przez punkt L. Kąt C'KL jest równy kątowi ALC więc z Talesa mam
\(\displaystyle{ \frac{LC'}{KC'} = \frac{AL}{AC}}\)
\(\displaystyle{ \frac{LC'}{ \frac{1}{2} AC} = \frac{AL}{AC}}\)
\(\displaystyle{ \frac{LC'}{ AL} = \frac{1}{2}}\)
co należało dowieść.