Zadanie było już kiedyś poruszone na tym forum , bezowocnie.
Finał pierwszego konkursu PW.
W stożek o promieniu podstawy r i wysokości h wpisano kulę. Następnie wpisano drugą kulę styczną zewnętrznie do kuli poprzedniej oraz do powierzchni bocznej stożka, następnie trzecią i tak dalej. Obliczyć sumę objętości wszystkich wpisanych kul.
Sam próbowałem , miałem już całkiem fajnie to przekształcone , ale do wyniku daleko .
Próbowałem z podobieństwem i wiadomo trzeba z tego zrobić jakiś szereg geometryczny , ale jak ?
Pomożecie ?
Stare dobre kulki
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Stare dobre kulki
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ (r_n)}\) ciąg (malejący) promieni kolejnych kul wpisywanych w stożek.
Dla wygody oznaczmy też przez \(\displaystyle{ l}\) długość tworzącej stożka - wiemy, że \(\displaystyle{ l=\sqrt{r^2+h^2}}\).
Rozważmy pierwszą kulę wpisaną w stożek (styczną do podstawy stożka). Jej promień \(\displaystyle{ r_1}\) to odległość środka od podstawy stożka jak i odległość od tworzącej. Łatwo zauważyć, że długość fragmentu tworzącej stożka między wierzchołkiem stożka a punktem styczności rozważanej kuli wynosi \(\displaystyle{ l-r}\). Podobnie długość fragmentu wysokości stożka między wierzchołkiem a środkiem rozważanej kuli wyraża się wzorem \(\displaystyle{ h-r_1}\). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ (h-r_1)^2=r_1^2+(l-r)^2}\), skąd mamy \(\displaystyle{ 2hr_1=h^2-(l-r)^2=h^2-(h^2+r^2)+2lr-r^2}\), tj.
Dla wygody oznaczmy też przez \(\displaystyle{ l}\) długość tworzącej stożka - wiemy, że \(\displaystyle{ l=\sqrt{r^2+h^2}}\).
Rozważmy pierwszą kulę wpisaną w stożek (styczną do podstawy stożka). Jej promień \(\displaystyle{ r_1}\) to odległość środka od podstawy stożka jak i odległość od tworzącej. Łatwo zauważyć, że długość fragmentu tworzącej stożka między wierzchołkiem stożka a punktem styczności rozważanej kuli wynosi \(\displaystyle{ l-r}\). Podobnie długość fragmentu wysokości stożka między wierzchołkiem a środkiem rozważanej kuli wyraża się wzorem \(\displaystyle{ h-r_1}\). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ (h-r_1)^2=r_1^2+(l-r)^2}\), skąd mamy \(\displaystyle{ 2hr_1=h^2-(l-r)^2=h^2-(h^2+r^2)+2lr-r^2}\), tj.
\(\displaystyle{ r_1=\frac{rl-r^2}{h}}\).
Korzystając dalej ze styczności zewnętrznej kolejnych kul i styczności każdej z nich do tworzącej stożka dochodzimy na podstawie twierdzenia Talesa kolejno do zależności:
\(\displaystyle{ \frac{h-2r_1-r_2}{r_2}=\frac{h-2r_1-2r_2-r_3}{r_3}=\frac{h-2(r_1+\ldots+r_n)-r_{n+1}}{r_{n+1}}=\frac{h-r_1}{r_1}}\),
skąd mamy \(\displaystyle{ r_{n+1}=r_1-\frac{2r_1(r_1+\ldots+r_n)}{h}}\),
lub prościej: \(\displaystyle{ r_{n+1}=r_n-\frac{2r_1r_n}{h}=r_n\left(1-\frac{2r_1}{h}\right)}\).
Zatem \(\displaystyle{ (r_n)}\) jest ciągiem geometrycznym liczb dodatnich (co zauważyła już kropka+) o ilorazie mniejszym od \(\displaystyle{ 1}\). W konsekwencji ciąg \(\displaystyle{ (r_n^3)}\) jest geometryczny i jego iloraz też jest mniejszy od \(\displaystyle{ 1}\). Ta uwaga pozwala łatwo obliczyć sumę objętości wszystkich kul wpisanych w stożek.-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Stare dobre kulki
Można też zrobić to bez nieskończonej sumy ciągu geometrycznego.
Po obliczeniu promienia R pierwszej wpisanej kuli policzyłbym promień r' przekroju równoległego do podstawy stożka i stycznego do tej kuli.
Stosunek objętości pierwszej kuli do objętości stożka ściętego w który jest ona wpisana jest równy stosunkowi poszukiwanej objętości wszystkich kul do objętości całego stożka.
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{4}{3} \pi R ^{3} }{\frac{1}{3} \pi r ^{2}h-\frac{1}{3} \pi \left( r ^{'} \right) ^{2}\left( h-2R\right) } = \frac{V _{s} }{\frac{1}{3} \pi r ^{2}h}}\)
( Bo każdą kulę możemy wpisać w stożek ścięty ograniczony przekrojami równoległymi do podstawy ,,dużego'' stożka. Z podobieństwa można wykazać, że stosunek objętości kul do objętości stożków ściętych w który są wpisane jest stały )
Po obliczeniu promienia R pierwszej wpisanej kuli policzyłbym promień r' przekroju równoległego do podstawy stożka i stycznego do tej kuli.
Stosunek objętości pierwszej kuli do objętości stożka ściętego w który jest ona wpisana jest równy stosunkowi poszukiwanej objętości wszystkich kul do objętości całego stożka.
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{4}{3} \pi R ^{3} }{\frac{1}{3} \pi r ^{2}h-\frac{1}{3} \pi \left( r ^{'} \right) ^{2}\left( h-2R\right) } = \frac{V _{s} }{\frac{1}{3} \pi r ^{2}h}}\)
( Bo każdą kulę możemy wpisać w stożek ścięty ograniczony przekrojami równoległymi do podstawy ,,dużego'' stożka. Z podobieństwa można wykazać, że stosunek objętości kul do objętości stożków ściętych w który są wpisane jest stały )